ステップ G3-5-2

平行線と線分の比

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三角形の1辺に平行な直線は、他の2辺を同じ比に分ける（相似から出る）。特に中点どうしを結ぶと、底辺と平行で長さは半分（中点連結定理）。

△ABCの辺AB上の点D、辺AC上の点Eについて、DE∥BCならば——

△ADEと△ABCは、∠Aが共通、∠ADE ＝ ∠ABC（平行線の同位角）で、2組の角がそれぞれ等しいから相似。よって

\[AD : AB = AE : AC = DE : BC\]

1辺に平行な直線は、他の2辺を同じ比に分ける。逆も成り立つ（比が等しければ平行）。

例1 ：AD : DB ＝ 2 : 1、BC ＝ 9cm のとき、DE は？　AD : AB ＝ 2 : 3 だから DE ＝ 9 × 2/3 ＝ 6cm。

平行線と比の、いちばん美しい特別な場合。辺ABの中点Mと辺ACの中点Nを結ぶと、AM : AB ＝ 1 : 2 だから——

\[MN \parallel BC かつ MN = \frac{1}{2}BC\]

中点どうしを結ぶ線分は、残りの辺と平行で、長さはその半分。 これを中点連結定理というよ。

例2 ：どんな四角形でも、4辺の中点を順に結ぶと平行四辺形になる（対角線を引いて中点連結定理を2回使うと、向かいあう辺が平行で等しくなる——平行四辺形になる条件⑤！）。でたらめな四角形から必ず平行四辺形が生まれる、ちょっと感動する定理だ。紙にかいて確かめてみよう。

Q1 きほん

△ABCでDE∥BC、AD : AB ＝ 1 : 2、BC ＝ 10cm のとき、DE は何cm？

Q2 きほん

辺ABと辺ACの中点を結んだ線分の長さは、BC ＝ 14cm のとき何cm？

Q3 ふつう

DE∥BC、AD ＝ 6cm、DB ＝ 3cm、AE ＝ 8cm のとき、EC は何cm？

Q4 ふつう

中点連結定理で、中点どうしを結ぶ線分と残りの辺の関係は？

Q5 チャレンジ

任意の四角形の4辺の中点を順に結ぶとできる図形は？

ボタンをおすと、あたらしいもんだいがでてくるよ。なんかいでもれんしゅうできるよ。