ステップ G3-9-2

錐と球の計量

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錐の体積は同じ底面・高さの柱の1/3。球の体積は 4/3πr³、表面積は 4πr²。1/3や4/3の根拠は積分（A5章）で明かされる。

底面から1点（頂点）に向かってとがる立体が錐（すい）。底面が多角形なら角錐、円なら円錐だ。

\[錐の体積 = 底面積 \times 高さ \times \frac{1}{3}\]

同じ底面・同じ高さの柱のちょうど 1/3。円錐の容器で水をくんで円柱の容器に注ぐと、きっかり3杯で満タンになる——実験でも確かめられる。

なぜ1/3なのかは、実はここまでの道具では証明しきれない。正確な理由は積分（A5章「積分の応用」）が教えてくれる。いまは「3杯でぴったり」を事実として使い、伏線として覚えておこう。

例1 ：底面の半径3cm、高さ4cmの円錐の体積は、9π × 4 ÷ 3 ＝ 12π ≈ 37.68cm³（円周率3.14で）。

中心から等距離の点全体がつくる立体が球。半径 r の球について——

\[体積 = \frac{4}{3}\pi r^3 \qquad 表面積 = 4\pi r^2\]

こちらの公式も、根拠づけは積分の楽しみに取っておく。おもしろい覚え方をひとつ：球がぴったり入る円柱（半径r、高さ2r）と比べると、球の体積は円柱の2/3。この美しい比を発見したアルキメデスは、墓石に球と円柱の図を刻ませたと伝えられているよ。

例2 ：半径3cmの球の体積は 4/3 × π × 27 ＝ 36π ≈ 113.04cm³。表面積は 4π × 9 ＝ 36π ≈ 113.04cm²。半径3のときだけ、体積と表面積の数値が一致する偶然も味わい深い。

Q1 きほん

底面積30cm²、高さ6cmの四角錐の体積は何cm³？

cm³

Q2 きほん

同じ底面・同じ高さの円柱と円錐。円柱の体積は円錐の何倍？

倍

Q3 ふつう

底面の半径6cm、高さ5cmの円錐の体積は □π cm³。□は？

Q4 ふつう

半径3cmの球の体積は □π cm³。□は？

Q5 ふつう

半径5cmの球の表面積は □π cm²。□は？

Q6 チャレンジ

たて3cm・よこ4cm・高さ12cmの直方体の、いちばん長い対角線は何cm？

ボタンをおすと、あたらしいもんだいがでてくるよ。なんかいでもれんしゅうできるよ。