命題と 真偽

白黒のつく文、つかない文

次の文を見比べてみよう。

「6は偶数である」「10は3の倍数である」のように、正しいか正しくないかが、だれが判断しても同じに決まる文を命題（めいだい）というよ。

一方、「大きい」「おいしい」のような感じかたしだいのことばをふくむ文や、命令・質問は命題ではない。数学が扱うのは命題だけだ。

真と偽

正しい命題を真（しん）、正しくない命題を偽（ぎ）というよ。

• 「6は偶数である」……真
• 「10は3の倍数である」……偽
• 「三角形の内角の和は180°である」……真（G1章で確かめたね）
• 「すべての素数は奇数である」……偽（2という反例がある）

大事なポイント：偽の命題も、命題である。「10は3の倍数」はまちがった主張だけど、まちがっているとはっきり言えるからこそ命題なんだ。数学では「正しいこと」と同じくらい、「まちがっているとはっきり示せること」に価値があるよ。

真偽を判定してみる

例1 ：「91は素数である」——真？ 偽？

見た目では判断できないから、調べる。91 ＝ 7 × 13 と分解できるので、素数ではない。よってこの命題は偽。

例2 ：「2けたの整数のうち最大のものは99である」

2けたの整数は10から99まで。たしかに最大は99だから、真。

真偽の判定には、こうして根拠がいる。「なんとなく真」ではなく、理由を添えて真偽を言えるようになるのが、このルートの目標だよ。

れんしゅう