かつ・または・否定

命題を組み立てる

命題は、部品を組み合わせて大きな命題にできる。つなぎかたは3種類だ。P、Qを命題として——

• PかつQ ……PとQの両方が真のときだけ真
• PまたはQ ……PとQの少なくとも一方が真なら真
• Pでない（Pの否定）……Pが真なら偽、Pが偽なら真

表（真理値表）にまとめるとこうなる。

数学の「または」は太っぱら

注意したいのは表の1行目。両方真のときも「または」は真だ。

例1 ：「6は偶数である、または、6は3の倍数である」——6は偶数でもあり3の倍数でもある。両方真だから、この「または」の命題は真。

日常会話の「コーヒーまたは紅茶」は「どちらか一方だけ」の意味で使われがちだけど、数学のまたはは両方OKをふくむ。この約束のちがいは、はっきり覚えておこう。

例2 ：「9は偶数である、または、9は3の倍数である」——前半は偽だが後半が真。一方でも真ならよいので、全体は真。

例3 ：「9は偶数である、かつ、9は3の倍数である」——「かつ」は両方必要。前半が偽なので、全体は偽。

否定 — 真偽をひっくり返す

「Pでない」はPの真偽を反転させる。

例4 ：P「10は3の倍数である」は偽。だから「10は3の倍数でない」は真。

否定を作るときの注意点をひとつ。「x は 5 より大きい」の否定は「x は 5 より小さい」ではない。5ちょうどの場合が抜けてしまうからだ。正しい否定は「x は 5 以下である」。否定は「それ以外ぜんぶ」——もれなくひっくり返すこと。

れんしゅう