写像と単射・全射

関数を、集合の言葉で

y ＝ 2x ＋ 1 のような「数から数」だけが関数ではない。生徒に誕生日を対応させる、多角形に頂点の数を対応させる——集合Aの各要素に、集合Bの要素をちょうど1つ対応させる規則を写像（しゃぞう）といい、

\[f : A \to B\]

と書く。Aを定義域、a ∈ A のうつり先 f(a) を a の像という。

「ちょうど1つ」が肝心だ。対応先がない要素があってはだめ、2つにうつるのもだめ。「人に、その子どもを対応させる」は写像でない（子どもがいない人も、2人いる人もいる）——規則ならなんでも写像になるわけではない。

単射と全射 — 2つの品質

写像の「品質」を測る2つの性質がある。

単射（injection）：かぶらない。ちがう要素はちがう要素にうつる——a ≠ a′ なら f(a) ≠ f(a′)。

全射（surjection）：届き切る。Bのどの要素も、誰かのうつり先になっている。

両方みたすものが全単射（bijection）：AとBの要素が完全に1対1のペアになる。

例1 ：f : 実数 → 実数、f(x) ＝ 2x ＋ 1。

単射？ 2x ＋ 1 ＝ 2x′ ＋ 1 なら x ＝ x′——かぶらない ✓ 全射？ どんな y も x ＝ (y − 1)/2 から届く ✓ 全単射だ。

例2 ：f : 実数 → 実数、f(x) ＝ x²。

f(1) ＝ f(−1) ＝ 1——かぶる。単射でない。y ＝ −1 には誰も届かない。全射でもない。

例3 ：終域を変えると運命が変わる。f : 実数 → 0以上の実数、f(x) ＝ x² なら、全射にはなる（どの y ≧ 0 にも √y が届く）。全射かどうかは終域の決め方しだい——写像は「規則＋定義域＋終域」の3点セットなのだ。

例4 ：f : 自然数 → 自然数、f(n) ＝ 2n。かぶらないから単射。でも奇数には届かない——全射でない。

有限集合なら「個数」の話になる

要素数mの集合からnの集合への写像で——

• 単射がありうる ⇔ m ≦ n（かぶらず配るには席が足りないと無理）
• 全射がありうる ⇔ m ≧ n（届き切るには手数がいる）
• 全単射がありうる ⇔ m ＝ n

「全単射がある ⇔ 個数が同じ」。あたりまえに見えるこの一行が、次のたんげんで無限集合の個数を測る物差しに化ける。楽しみにしていて。

よくあるまちがい

その1：単射と全射の取りちがえ。 単射は「入力側がかぶらない」、全射は「出力側が埋まる」。矢印の図を描いて、根元と先端のどちらの話かを確かめよう。

その2：終域を無視して全射を判定する。 例3のとおり、同じ式でも終域がちがえば答えが変わる。「どこへの写像か」を確認してから判定を。

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