合成写像と逆写像

合成 — 写像をつなぐ

f : A → B と g : B → C をつなぐと、AからCへの写像ができる：

\[(g \circ f)(a) = g(f(a))\]

合成写像 g∘f。注意——記号は g が左だが、先に働くのは f（右から読む）。「fしてからg」だ。

例1 ：f(x) ＝ x ＋ 1、g(x) ＝ x² のとき。

(g∘f)(x) ＝ g(x ＋ 1) ＝ (x ＋ 1)²。(f∘g)(x) ＝ x² ＋ 1。順序で結果が変わる——行列の積（L1）が非可換だったのと同じ現象だ。それもそのはず、行列の積の正体は「変換の合成」だった。連鎖律（A5）の「外×中」も合成写像の微分——バラバラに見えた道具が、写像という言葉でひとつにつながる。

逆写像 — 完全な対応は巻き戻せる

f : A → B が全単射なら、対応を逆向きにたどれる：Bの各要素 b に、f(a) ＝ b となるただひとつの a を返す写像——逆写像 f⁻¹だ。

\[f^{-1} \circ f = (\text{Aの恒等写像}) \qquad f \circ f^{-1} = (\text{Bの恒等写像})\]

（恒等写像とは「何もしない写像」id(a) ＝ a。数の1、行列のEの写像版だ。）

なぜ全単射が必要か。単射でなければ「どのaに戻る？」が曖昧になり、全射でなければ「戻り先がないb」が生まれる。かぶらず、届き切ってこそ、巻き戻せる。

例2 ：f(x) ＝ 2x ＋ 1（全単射だった）。y ＝ 2x ＋ 1 を x について解くと x ＝ (y − 1)/2。

\[f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2}\]

検算：f⁻¹(f(3)) ＝ f⁻¹(7) ＝ 3 ✓

例3 ：見覚えのある逆写像たち。

• 指数関数 2ˣ と対数 log₂x（A2）——互いに逆写像。グラフが y ＝ x 対称だったのはこのため
• 行列 A と逆行列 A⁻¹（L1）——det ≠ 0（＝変換が全単射）のときだけ存在した
• f(x) ＝ x² が逆を持てなかったのは単射でないから。定義域を x ≧ 0 に制限すれば全単射になり、逆写像 √x が生まれる（N10の平方根で「正のほう」と約束した理由がこれだ）

「逆」の理論は、ぜんぶ同じ一つの構図——全単射なら巻き戻せる。数学ハイウェイのあちこちで出会った「逆」たちの正体が、ここでそろって明かされた。

よくあるまちがい

その1：g∘f を「gしてからf」と読む。 逆だ。(g∘f)(x) ＝ g(f(x))——内側のfが先。式の形から読み取ろう。

その2：f⁻¹ を 1/f と混同する。 f⁻¹(x) は逆写像であって逆数ではない。f(x) ＝ 2x ＋ 1 の逆写像は (x − 1)/2 で、1/(2x ＋ 1) ではない。（sin⁻¹ などの記号でも同じ注意が要る。）

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