2次の行列式 — 面積の拡大率

ad − bc の正体

逆行列の分母に現れた ad − bc。この数を行列式といい、det A や

A

と書く。

\[\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc\]

正体を明かそう。行列Aの2つの列ベクトル (a, c) と (b, d) を平面に描くと、平行四辺形が張られる。その面積が

ad − bc

なのだ。

例1 ：A ＝ [[2, 0], [0, 3]]。列ベクトルは (2, 0) と (0, 3)——2×3の長方形。det A ＝ 6 ＝ 面積 ✓

例2 ：A ＝ [[2, 1], [1, 3]]。det A ＝ 6 − 1 ＝ 5。斜めの平行四辺形の面積が、公式ひとつで出た（G5で三角形の面積を座標から求めた、あの計算の完成形だ）。

変換として読むと：Aは単位正方形（面積1）をこの平行四辺形にうつす。つまり det A ＝ 面積の拡大率。det ＝ 5 の変換は、あらゆる図形の面積を5倍にする。

符号にも意味がある。det ＜ 0 は「裏返し」（鏡うつし）を含む変換。だから行列式は符号つき面積という。

det ＝ 0 ＝ ぺしゃんこ

det A ＝ 0 とはどういう状況か。面積0——2つの列ベクトルが同一直線上に並び、平行四辺形がつぶれている。

例3 ：A ＝ [[2, 4], [1, 2]]。det ＝ 4 − 4 ＝ 0。列ベクトル (2, 1) と (4, 2) は平行（一方が他方の2倍）——たしかにつぶれる。

つぶれた変換は元に戻せない（平面全体が1本の直線に押しつぶされ、どこから来たか分からなくなる）。これが「det ＝ 0 なら逆行列なし」の図形的な理由だ。さらに——

\[\det A \neq 0 \iff A^{-1}\text{ が存在} \iff 連立方程式 A\vec{x} = \vec{b} \text{ が一意に解ける}\]

前たんげんの「解の3つの型」ともつながった：det ≠ 0 なら一意、det ＝ 0 なら不定か不能（つぶれた方向しだい）。1つの数が、行列の運命をすべて予言する。

例4 ：連立方程式 2x ＋ y ＝ 5、5x ＋ 3y ＝ 13 は一意に解けるか？ 係数行列の det ＝ 6 − 5 ＝ 1 ≠ 0——一意に解ける（解く前にわかる！）。

よくあるまちがい

その1：ad − bc の符号の混乱。 「左上×右下から右上×左下を引く」。たすき掛けの向きを固定しよう。det [[1, 2], [3, 4]] ＝ 4 − 6 ＝ −2。

その2：det(A ＋ B) ＝ det A ＋ det B と思う。 行列式は和を保たない（積は保つ：det(AB) ＝ det A・det B——拡大率の合成はかけ算、と考えれば自然）。

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