3次の行列式と余因子展開

3次元では「体積の拡大率」

3×3行列の行列式は、3つの列ベクトルが張る平行六面体の符号つき体積——2次の「面積」が、そのまま次元アップする。det ＝ 0 なら空間がぺしゃんこ（平面以下）につぶれ、逆行列なし。意味は完全に同じだ。

計算法を2つ紹介しよう。

サラスの方法 — たすきを3本ずつ

\[\det\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh\]

右下がりの3本（aei、bfg、cdh）をたし、右上がりの3本（ceg、bdi、afh）を引く。2次のたすき掛けの3次版だ。

例1 ：

\[\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

右下がり：1・1・1 ＝ 1、2・1・2 ＝ 4、0・0・0 ＝ 0 → 和5。右上がり：0・1・2 ＝ 0、1・1・0 ＝ 0、2・0・1 ＝ 0 → 和0。det ＝ 5 − 0 ＝ 5。

注意：サラスの方法は3次専用。4次以上には使えない（うっかり拡張すると誤る有名な罠だ）。

余因子展開 — 大きい問題を小さく割る

もうひとつの方法は、どの次数にも通じる王道だ。第1行に沿って——

\[\det = a \cdot \det\begin{pmatrix} e & f \\ h & i \end{pmatrix} - b \cdot \det\begin{pmatrix} d & f \\ g & i \end{pmatrix} + c \cdot \det\begin{pmatrix} d & e \\ g & h \end{pmatrix}\]

各成分に「その行と列を消して残る2×2の行列式」を掛け、＋ − ＋ の符号でたす。3次が2次に、（4次なら3次に）——再帰的に次数が下がっていく。

例2 ：例1と同じ行列で。

\[1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} + 0 = 1(1) - 2(0 - 2) + 0 = 5\]

サラスと一致 ✓ 2つの方法が同じ答えを出す——検算のペアとして最強だ。

例3 ：対角行列 [[2, 0, 0], [0, 3, 0], [0, 0, 4]] の det ＝ 2・3・4 ＝ 24。対角成分の積——2×3×4の直方体の体積そのもの。

よくあるまちがい

その1：余因子展開の符号。 ＋ − ＋ − …の市松模様。第1行の2番目にはマイナスがつく。忘れると例2の 0 − 2 の項の符号がずれる。

その2：サラスを4次に使う。 4次の行列式の項は24個ある（サラス式のたすきでは8本しか拾えない）。4次以上は余因子展開か行基本変形で。

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