掃き出し法

加減法を、作業台に載せる

\[\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 4y = 11 \end{cases}\]

N9の加減法で解ける。でも、xやyの文字を毎回書き写すのは無駄が多い。係数と右辺の数だけを行列に並べよう：

\[\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 3 & 4 & 11 \end{array}\right)\]

これを拡大係数行列という。加減法の操作は、この行列の行への操作に対応する：

1. 行を入れかえる（式の順序を変える）
2. 行を0でない数で倍する（式の両辺を倍する）
3. ある行に、別の行の定数倍をたす（式どうしをたし引きする）

この3つを行基本変形という。どれも「方程式の解を変えない操作」（等式の性質——N9）の行列版だ。

掃き出してみる

目標：左側を単位行列の形にする。そうなれば右側が答えだ。

手順1：第2行から第1行の3倍を引く（xの係数を掃き出す）：

\[\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & -4 \end{array}\right)\]

手順2：第2行を −1/2 倍：

\[\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right)\]

手順3：第1行から第2行の2倍を引く（yを掃き出す）：

\[\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right)\]

左が単位行列になった。読み戻すと x ＝ 1、y ＝ 2。掃き出し法（ガウスの消去法）完成だ。

検算：もとの式へ。1 ＋ 4 ＝ 5 ✓、3 ＋ 8 ＝ 11 ✓

3本でも同じ手順

例1 ：未知数3つでも、やることは変わらない——左上から順に、各列を「1、その下は0」に掃き出していくだけ。

\[\begin{cases} x + y + z = 6 \\ y + z = 5 \\ z = 3 \end{cases}\]

すでに階段の形（階段行列）だ。下からz ＝ 3 → y ＝ 5 − 3 ＝ 2 → x ＝ 6 − 5 ＝ 1。階段の形まで掃き出せば、あとは下から代入で流れ落ちる。

加減法（N9）では2本が限界に感じた連立方程式が、同じ3操作のくり返しで何本でも解ける。手順が完全に機械的だから、コンピュータに任せられる——気象予報も構造計算も、内部ではこの掃き出しが毎秒何億回も走っている。

よくあるまちがい

その1：右辺の数を変形に巻き込み忘れる。 行基本変形は行全体（縦棒の右も含めて）に施す。係数だけ変えて右辺を忘れると、答えがずれる。

その2：「行の変形」と「列の変形」の混同。 使ってよいのは行の変形だけ。列を入れかえると未知数の順序が変わってしまう（管理すれば可能だが、初学のうちは行だけと約束しよう）。

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