解の3つの型 — 一意・不定・不能

連立方程式の答えは3種類

\[\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases} \qquad \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 7 \end{cases}\]

左の組：第2式は第1式の2倍——同じ情報だ。実質1本しかなく、x ＋ y ＝ 3 をみたすペアは無数にある（不定）。

右の組：第1式を2倍すると 2x ＋ 2y ＝ 6。それが7に等しいことはありえない——矛盾。解は存在しない（不能）。

グラフで見れば一目瞭然（A1の一次関数）：2直線が交わる（1点＝一意）、重なる（無数）、平行（なし）。方程式の3つの型は、直線の3つの位置関係だったのだ。

掃き出しは、型も教えてくれる

例1（不定） ：左の組を掃き出すと——

\[\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\]

第2行が **(0 0

0)——「0 ＝ 0」という、正しいが空っぽの式。情報が1本消えた合図だ。残る式 x ＋ y ＝ 3 から、y ＝ t（好きな数**）とおいて——

\[x = 3 - t, \quad y = t\]

解はtの分だけ無数にある（パラメータ表示）。t ＝ 0 なら (3, 0)、t ＝ 1 なら (2, 1)、……ぜんぶ解 ✓

例2（不能） ：右の組では最後の行が **(0 0

1)——「0 ＝ 1」。ありえない式が出たら、その瞬間に解なし**と宣告できる。

まとめ：

掃き出しの結果	型
左が単位行列まで掃ける	一意（ちょうど1組）
(0 0 ｜ 0) の行が出る	不定（無数、パラメータつき）
(0 0 ｜ c)、c ≠ 0 の行が出る	不能（解なし）

「意味のある行が何本残るか」——この本数をランクという。ランクの理論はL2で本格化するが、心はここにある：方程式の本数ではなく、独立な情報の本数がすべてを決める。

よくあるまちがい

その1：式が2本あれば解は1組と思い込む。 本数は見かけだ。例1のように中身が重複していれば実質1本。掃き出しが「実質」をあぶり出す。

**その2：(0 0

0) と (0 0

c) の混同。** 右辺まで0の行は矛盾のない零行で、右辺だけ残る行は矛盾だ。零行が出たときは、さらに自由変数があるかを確認する。このページの2元連立方程式では、一方が零行なら自由変数が残って「無数」になり、右辺だけ残れば「なし」になる。

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