重積分と逐次積分

面の上に積み上げる

曲面 z ＝ f(x, y) の下の体積を測りたい。リーマン和（A6）の発想をそのまま次元アップする——領域を小さな長方形（底面積 ΔxΔy）に刻み、各マスに高さ f の柱を立てて、全部たす。刻みを細かくした極限が重積分だ：

\[\iint_D f(x, y)\, dx\, dy\]

逐次積分 — 1変数を2回

計算は、体積を「スライスの面積の積み上げ」（A5の回転体と同じ思想）と読み替えればいい。yを止めてxで積分すると、位置yでの断面積 S(y) が出る。それをyで積分すれば体積——

\[\iint_D f\, dx\, dy = \int_c^d \left(\int_a^b f(x, y)\, dx\right) dy\]

偏微分の相棒だ：偏微分が「1変数ずつ微分」なら、重積分は「1変数ずつ積分」。

例1 ：長方形 0 ≦ x ≦ 2、0 ≦ y ≦ 3 上で ∬xy dxdy を計算しよう。

内側（xで積分、yは定数）：∫₀² xy dx ＝ y[x²/2]₀² ＝ 2y。

外側（yで積分）：∫₀³ 2y dy ＝ [y²]₀³ ＝ 9。

検算：積の形 f ＝ xy と長方形領域なら、積分はバラせる：(∫₀²x dx)(∫₀³y dy) ＝ 2 × 4.5 ＝ 9 ✓

例2 ：同じ長方形で ∬(x ＋ y)dxdy ＝ ∫₀³(2 ＋ 2y)dy ＝ 6 ＋ 9 ＝ 15。

長方形領域なら、xが先でもyが先でも結果は同じ（フビニの定理——連続関数なら順序交換が正当化される。A6の厳密化の恩恵だ）。

領域が長方形でないとき

例3 ：三角形領域（0 ≦ x ≦ 1、0 ≦ y ≦ x）で ∬1 dxdy ＝ ？

「高さ1」の積分は領域の面積そのもの。内側：∫₀ˣ 1 dy ＝ x。外側：∫₀¹ x dx ＝ 1/2——三角形の面積 ✓

積分の上端が外の変数xに依存するのがポイント。領域の形が積分の範囲に翻訳される——ここが重積分の設計のしどころで、「先にyを走らせると範囲は0からxまで」のような領域の絵を描いてから式を立てるのが鉄則だ。

例4 ：同じ三角形で ∬x dxdy ＝ ∫₀¹ x・x dx ＝ 1/3。板の質量（密度x）や重心の計算は、この型の積分でできている。

よくあるまちがい

その1：内側の積分で外の変数まで積分する。 内側の ∫…dx では yは定数。偏微分の「止める」感覚と同じ——いま走っている変数はどれかを常に明示。

その2：長方形でない領域で範囲を定数にする。 例3の内側の上端は x（定数1ではない）。領域の絵を描かずに式を写すと、ここで事故る。

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