変数変換とヤコビアン — ガウス積分へ

置換積分の「倍率」が行列式になる

1変数の置換積分（A5）では、x ＝ g(t) と置くと dx ＝ g′(t)dt——微分係数が長さの倍率だった。

2変数で (x, y) を (u, v) に取りかえると、小さな正方形 dudv は小さな平行四辺形にうつる。その面積倍率は？——行列式の出番だ（L1：det ＝ 面積の拡大率！）。偏微分を並べた行列——

\[J = \det\begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v \\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix}\]

をヤコビアンといい——

\[dx\, dy = |J|\, du\, dv\]

微分（局所の一次近似）と行列式（面積倍率）と積分——3つの装備がここで合体する。

極座標変換 — 円の味方

x ＝ r cos θ、y ＝ r sin θ（極座標——A5！）のヤコビアンを計算しよう。

\[J = \det\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r\]

（相互関係 sin² ＋ cos² ＝ 1 がまた働いた。）よって——

\[dx\, dy = r\, dr\, d\theta\]

外側ほど（rが大きいほど）同じ Δθ が広い面積を掃く——扇形の面積（A2）の直観と一致する r 倍だ。

例1 ：半径2の円板上で ∬(x² ＋ y²)dxdy ＝ ？

x² ＋ y² ＝ r²（三平方！）だから——

\[\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^2 r^2 \cdot r\, dr\, d\theta = 2\pi \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^2 = 2\pi \cdot 4 = 8\pi\]

直交座標では手強い円対称の積分が、極座標で瞬殺された。座標系は対称性に合わせて選ぶ（A5の教え）の、最良の実演だ。

ガウス積分 — 統計学への贈り物

I ＝ ∫e^(−x²)dx（全実数）——1変数ではどうしても計算できなかった積分（原始関数が初等関数で書けない——A5で予告）。ところが2乗して2次元に持ち込むと——

\[I^2 = \iint e^{-(x^2 + y^2)}\, dx\, dy = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\infty e^{-r^2} r\, dr\, d\theta\]

ここで r dr が e^(−r²) の置換にぴったりはまり（中身の微分が隣にいる——A5の置換の合図！）、内側は [−e^(−r²)/2]₀^∞ ＝ 1/2。よって I² ＝ 2π × 1/2 ＝ π——

\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}\]

ガウス積分。1次元で不可能だった計算が、次元を上げて対称性を借りると解ける——数学ハイウェイ屈指の絶景ポイントだ。この積分は正規分布（P3・P4）の正体そのもの。統計学の鐘形カーブの下の面積が1になるのは、この√πのおかげなんだ。

よくあるまちがい

その1：極座標で r を掛け忘れる。 dxdy ＝ r drdθ。忘れると円板の面積すら πr² にならない（検算：∬1 ＝ ∫∫r drdθ ＝ 2π・r²/2 ＝ πr² ✓）。

その2：ヤコビアンの絶対値を忘れる。 面積倍率は

J

。向きが裏返る変換（det ＜ 0——L1の鏡うつし）でも面積は正だ。

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