たんげんテスト A7-2-3
たんげんテスト：重積分
この ページで まなぶ こと
- 逐次積分と変数変換をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたらA7章は完了！ 章テストへ進もう。
「重積分」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
長方形 0 ≦ x ≦ 1、0 ≦ y ≦ 2 上の ∬xy dxdy ＝ ？
かいせつ積の形と長方形領域なのでバラせる：(∫₀¹ x dx)(∫₀² y dy) ＝ (1/2) × 2 ＝ 1。
Q2
きほん
長方形 0 ≦ x ≦ 2、0 ≦ y ≦ 2 上の ∬(x ＋ y)dxdy ＝ ？
かいせつ内側（xで積分、yは定数）：∫₀²(x ＋ y)dx ＝ 2 ＋ 2y。外側：∫₀²(2 ＋ 2y)dy ＝ 4 ＋ 4 ＝ 8。
Q3
きほん
極座標変換での面積要素は？
かいせつ極座標のヤコビアン（面積倍率）は r。だから dxdy ＝ r drdθ——r を掛け忘れると円板の面積すら πr² にならない。
Q4
ふつう
半径1の円板上の ∬1 dxdy ＝ □π。□は？
かいせつ∬1 dxdy は領域の面積。半径1の円板だから π × 1² ＝ 1π——□は 1。極座標でも 2π × [r²/2]₀¹ ＝ π と一致。
Q5
ふつう
三角形（0 ≦ x ≦ 1、0 ≦ y ≦ x）の面積を重積分で求めると 1/□。□は？
かいせつ内側の上端が x に依存する型。∫₀ˣ 1 dy ＝ x、外側で ∫₀¹ x dx ＝ 1/2——□は 2。
Q6
チャレンジ
∫e^(−x²)dx（全実数）の2乗の値は？（記号1文字）
かいせつ2乗して ∬e^(−(x² ＋ y²))dxdy に持ち込み極座標に変えると、内側が [−e^(−r²)/2]₀^∞ ＝ 1/2 で I² ＝ 2π × 1/2 ＝ π。だから I ＝ √π——ガウス積分だ。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！