偏微分と勾配

山の斜面は、方向によって傾きがちがう

山の斜面に立つと、東へ歩けば急な上り、北へ歩けばほぼ平ら——傾きは方向ごとにちがう。1変数のときの「傾き」ひとつでは足りない。

そこで、方向を軸ごとに分けて測る。z ＝ f(x, y) の x方向の傾きは、yを定数として止めてxで微分すればいい：

\[\frac{\partial f}{\partial x} \quad （偏微分。「ラウンド」または「デル」と読む）\]

∂ の記号は「他の変数を止めています」の合図。計算自体は、いつもの微分（A4〜A5）とまったく同じだ。

例1 ：f(x, y) ＝ x²y ＋ y³。

∂f/∂x：yは定数扱い——x²の係数がyだと思って 2xy（y³はxを含まない定数なので消える）。

∂f/∂y：xは定数扱い——x² ＋ 3y²。

検算：それぞれの微分で「止めた変数」の項が正しく生き残っているか、次数を見て確認。∂f/∂x にy³の名残がないか？ ない ✓

例2 ：f(x, y) ＝ 3x² ＋ 2xy ＋ y² の点 (1, 2) での傾きは？

∂f/∂x ＝ 6x ＋ 2y → (1, 2) で 10。∂f/∂y ＝ 2x ＋ 2y → 6。「東向きに10、北向きに6の上り」——1点の傾き情報がベクトルになった。

勾配 — 最も急な上りの矢印

偏微分を並べたベクトルを勾配（グラディエント）という：

\[\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y}\right)\]

∇（ナブラ）は逆三角の記号。勾配には鮮やかな意味がある——

∇f は、その点で「最も急な上り」の方向を指し、その大きさが最大傾斜の値。

（方向 u→ に進むときの傾きは内積 ∇f・u→（G5・L2の内積！）で与えられ、内積は向きがそろうとき最大——だから∇fの方向が最急上昇だ。）

例3 ：f(x, y) ＝ x² ＋ y²（お椀型の面）の点 (1, 2) での勾配は ∇f ＝ (2x, 2y) ＝ (2, 4)——原点から離れる向き。お椀を上るには外向きに登るのが最急、と図の直観とも一致 ✓

逆に −∇f は最も急な下り。「勾配の逆向きに少しずつ進んで谷底（最小値）を探す」——これが機械学習の勾配降下法そのもの。AIの学習の一歩一歩は、偏微分の計算でできている。

よくあるまちがい

その1：止めるべき変数まで微分してしまう。 ∂/∂x のときyは完全に定数。y³ の微分は 3y² ではなく 0 だ。「いま動かしているのはどっちか」を式の頭で宣言しよう。

その2：勾配を「接線の傾き（数）」と混同。 多変数では傾きはベクトル。数を答えるのは「特定の方向への傾き」（∇f と方向の内積）を聞かれたときだ。

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