多変数の極値

山頂では、どの方向も平ら

1変数では「極値の候補は f′ ＝ 0」だった（A4）。2変数の山頂・谷底では、どの方向に歩いても瞬間的には平ら——つまり——

\[\frac{\partial f}{\partial x} = 0 \quad かつ \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \qquad （\nabla f = \vec{0}）\]

この点を停留点という。極値の候補はここに限られる。

例1 ：f(x, y) ＝ x² ＋ y² − 2x − 4y ＋ 5 の停留点は？

∂f/∂x ＝ 2x − 2 ＝ 0、∂f/∂y ＝ 2y − 4 ＝ 0 → (1, 2)。値は f(1, 2) ＝ 1 − 2 ＋ 4 − 8 ＋ 5 ＝ 0。平方完成でも確かめられる：f ＝ (x − 1)² ＋ (y − 2)² ≧ 0——たしかに (1, 2) で最小値0 ✓

鞍点 — 峠という第3の答え

1変数にはなかった現象がある。f(x, y) ＝ x² − y² の停留点は原点だが——x方向には谷底、y方向には山頂。馬の鞍の中央、山でいえば峠だ。極大でも極小でもない停留点——鞍点（あんてん）という。

方向によって表情が変わる——多変数の景色は1変数より豊かで、油断ならない。

判定法 — 2次の偏微分で見分ける

停留点の正体は、2次の偏微分（fxx ＝ ∂²f/∂x² など）から作る判別式で見分けられる：

\[D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^2\]

• D ＞ 0 かつ fxx ＞ 0 → 極小（全方向が谷）
• D ＞ 0 かつ fxx ＜ 0 → 極大（全方向が山）
• D ＜ 0 → 鞍点（方向で符号が割れる）
• D ＝ 0 → 判定不能（さらに詳しい調査へ）

（正体は2次形式の符号——対称行列 [[fxx, fxy], [fxy, fyy]] の固有値の符号（L2！）を、行列式でまとめて読んでいる。D ＞ 0 は固有値が同符号、D ＜ 0 は異符号——鞍点とは「固有値の符号が割れた点」なのだ。）

例2 ：f ＝ x² ＋ y²。fxx ＝ 2、fyy ＝ 2、fxy ＝ 0。D ＝ 4 ＞ 0、fxx ＞ 0——極小 ✓

例3 ：f ＝ x² − y²。fxx ＝ 2、fyy ＝ −2、fxy ＝ 0。D ＝ −4 ＜ 0——鞍点 ✓

例4 ：f(x, y) ＝ x³ − 3x ＋ y²。停留点：3x² − 3 ＝ 0、2y ＝ 0 → (±1, 0)。fxx ＝ 6x、fyy ＝ 2、fxy ＝ 0 だから D ＝ 12x。(1, 0)：D ＝ 12 ＞ 0、fxx ＝ 6 ＞ 0——極小（値 −2）。(−1, 0)：D ＝ −12 ＜ 0——鞍点。1変数（A4）では x ＝ −1 は極大だったのに、y方向が谷なので峠に化けた——次元が増えると答えが変わる好例だ。

よくあるまちがい

その1：∇f ＝ 0 だけで極値と断定。 鞍点の存在を忘れずに。停留点は「候補」であって「当選」ではない——1変数のとき（x³の変曲点）より罠が多い。

その2：判別式の符号の読みちがえ。 D ＜ 0 が鞍点。二次方程式の判別式（N11）と役割がちがうので、丸暗記でなく「固有値の符号がそろうか割れるか」で理解しておくと混ざらない。

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