確率変数・期待値・分散

偶然が決める数

さいころを振って出る目を X と書く。X は 1〜6 のどれかに確率つきでなる——このような「偶然が決める数」を確率変数、値と確率の対応表を確率分布という。

Xの値	1	2	3	4	5	6
確率	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

期待値 — 確率で重みづけた平均

くじを何度も引いたら、平均していくらもらえるか。それが期待値 E[X] だ：

\[E[X] = \sum （値） \times （確率）\]

例1 ：さいころの目の期待値：(1 ＋ 2 ＋ … ＋ 6)/6 ＝ 21/6 ＝ 3.5。「3.5の目」は存在しないが、たくさん振った平均は3.5に近づく（この「近づく」の正確な意味が次のたんげんの大数の法則だ）。

例2 ：宝くじ1枚300円、賞金の期待値が150円なら——1枚ごとに平均150円損をする。期待値は「くじの適正価格」を教える。ギャンブルから生まれた確率論の、これが原点の問いだった。

期待値には線形性という強力な性質がある：

\[E[aX + b] = aE[X] + b \qquad E[X + Y] = E[X] + E[Y]\]

和の期待値は期待値の和——XとYが独立でなくても成り立つ（Σの線形性——A3——がそのまま効く）。これが期待値計算の最強の武器だ。

例3 ：コインを10回投げたときの表の回数の期待値は？ 各回の表の回数（0か1）の期待値は1/2。線形性で 10 × 1/2 ＝ 5回。二項分布の期待値 np が、線形性なら一行で出る。

分散 — ばらつきの物差し

「必ず100円」と「半々で0円か200円」——期待値はどちらも100円だが、危なさがちがう。ばらつきを測るのが分散：

\[V[X] = E[(X - \mu)^2] \qquad （\mu ＝ E[X]、期待値からのずれの2乗の平均）\]

平方根 √V[X] を標準偏差という（2乗で単位が変わったのを元に戻す——N10の平方根！）。

例4 ：「半々で0か200」の分散は ((−100)² ＋ 100²)/2 ＝ 10000、標準偏差100円。「必ず100円」は分散0。危なさが数になった。

分散の変換則は V[aX ＋ b] ＝ a²V[X]——bのずらしはばらつきに影響せず、a倍はばらつきをa²倍にする（2乗の物差しだから）。

よくあるまちがい

その1：期待値を「よく出る値」と誤読。 さいころの期待値3.5は一度も出ない値。期待値は長期平均であって最頻値ではない。

その2：V[aX] ＝ aV[X] とする。 正しくは a²倍。標準偏差なら a倍——「2乗の世界か、元の単位の世界か」を意識しよう。

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