連続型の確率変数と正規分布

「ちょうど」の確率は0

身長がちょうど170.000…cm の人の確率は？——0だ。連続量では、値は無限に細かく、1点をぴたり当てる確率は消えてしまう（可算・非可算——S3——の影がここにも）。

意味を持つのは区間の確率。「169cm以上171cm以下」なら正の確率がある。そこで、確率密度関数 f(x) を用意して——

\[P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\, dx \qquad 「確率 ＝ 密度の下の面積」\]

積分が確率の言葉になった（リーマン積分——A6——の新しい仕事）。全区間の積分は1（どこかには必ずいる）。

例1（一様分布） ：0から10のどこかに等確率で落ちる点。密度は f ＝ 1/10（一定）。P(2 ≦ X ≦ 5) ＝ 3/10。長方形の面積だ。

正規分布 — 世界でいちばん有名なカーブ

連続分布の王者が正規分布（ガウス分布）：

\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}\]

釣鐘型の曲線。μ（平均）が山の中心、σ（標準偏差）が山の幅を決める。身長・測定誤差・テストの得点——自然や社会のいたるところに現れる（なぜ現れるのかは次のたんげん、中心極限定理のお楽しみ）。

式の先頭の 1/√(2π) に注目——ガウス積分 ∫e^(−x²)dx ＝ √π（A7で重積分と極座標を使って求めた、あの値！）が「全体の面積を1にする」係数の正体だ。伏線、完全回収。

68-95-99.7 ルール

正規分布では、平均からのずれをσ単位で測ると、確率が普遍的に決まる：

• μ ± σ の範囲に約 68%
• μ ± 2σ に約 95%
• μ ± 3σ に約 99.7%

例2 ：テストの得点が平均60点・標準偏差10点の正規分布なら、50〜70点に約68%、40〜80点に約95%の受験者が入る。90点（＋3σ）を超えるのは0.15%ほど——「3σの壁」だ。

例3 ：規格が「平均 ± 2σ」の製品検査なら、不良品率は約5%。「6σ品質」を掲げる製造業の言葉も、この物差しの上にある。

どんな正規分布も、Z ＝ (X − μ)/σ と標準化すれば平均0・標準偏差1の標準正規分布ひとつに帰着する——一次関数の変換（E[aX＋b]、V[aX]——前ステップ！）がここで効いている。

よくあるまちがい

その1：密度を確率と読む。 f(x) の値そのものは確率ではない（1を超えることさえある）。確率は面積——積分してはじめて確率になる。

その2：68-95ルールを非正規な分布に使う。 このルールは正規分布の専売特許。ゆがんだ分布（収入の分布など）では成り立たない——分布の形の確認が先だ。

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