ステップ N10-2-3
たすきがけ
この ページで まなぶ こと
- x²の係数が1でない二次式を、たすきがけで因数分解できるようになる
acx²＋bx＋c型は、(px＋q)(rx＋s) の形を、外側どうし・内側どうしの積の和が中央の項になるように組み合わせをさがす。
係数が1でないとき
\[2x^2 + 7x + 3\]x²の係数が2だから、「たして・かけて」の技がそのままでは使えない。分解後の形を
\[(px + q)(rx + s)\]とおくと、展開して pr ＝ 2、qs ＝ 3、そして外側どうし＋内側どうし ＝ ps ＋ qr ＝ 7が必要だ。
組み合わせ表で さがす
pr ＝ 2 になる組は (1, 2)。qs ＝ 3 になる組は (1, 3) か (3, 1)。ためしてみよう。
| p, r | q, s | ps ＋ qr |
|---|---|---|
| 1, 2 | 1, 3 | 1×3 ＋ 1×2 ＝ 5 ✗ |
| 1, 2 | 3, 1 | 1×1 ＋ 3×2 ＝ 7 ✓ |
当たりが見つかった。
\[2x^2 + 7x + 3 = (x + 3)(2x + 1)\]検算（展開）：2x² ＋ x ＋ 6x ＋ 3 ＝ 2x² ＋ 7x ＋ 3 ✓
数の組をななめに掛けてたす様子が「たすき」の形に見えることから、この方法をたすきがけと呼ぶよ。
例2 ：3x² − 10x ＋ 8
pr ＝ 3 は (1, 3)。qs ＝ 8 は、中央が負で定数が正だから両方負：(−1, −8)(−2, −4)(−4, −2)(−8, −1)。ためすと (1, 3) × (−4, −2)：1×(−2) ＋ (−4)×3 ＝ −14 ✗、(1, 3) × (−2, −4)：1×(−4) ＋ (−2)×3 ＝ −10 ✓
\[3x^2 - 10x + 8 = (x - 2)(3x - 4)\]あせらず、順番に
たすきがけは「総当たりを整理してやる」技。うまくいかなくても組み合わせを変えて再挑戦すればいいだけだから、こわくない。そして最後は必ず展開で検算——この安心感が数学のいいところだよ。
れんしゅう
2x² ＋ 5x ＋ 3 ＝ (x ＋ 1)(2x ＋ □)。□は？
3x² ＋ 7x ＋ 2 ＝ (x ＋ 2)(3x ＋ □)。□は？
2x² − 7x ＋ 6 ＝ (x − 2)(2x − □)。□は？
5x² ＋ 9x − 2 ＝ (x ＋ 2)(5x − □)。□は？
6x² ＋ x − 2 ＝ (2x − 1)(3x ＋ □)。□は？
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！