ステップ N10-4-2

平方根の考えと 平方完成

この ページで まなぶ こと

  • x² ＝ k 型、(x ＋ m)² ＝ k 型の二次方程式を解けるようになる
  • 平方完成の変形ができるようになる

x² ＝ k の解は x ＝ ±√k。どんな二次式も (x ＋ m)² − ● の形（平方完成）に変形すれば、この型に持ちこめる。

因数分解できないときは？

\[x^2 = 5\]

x² − 5 は（整数の範囲では）因数分解できない。でもこの式、「2乗すると5になる数」を聞いているだけだ。答えは平方根の出番——

\[x = \pm\sqrt{5} \quad （\sqrt{5} と -\sqrt{5} の2つ）\]

例1 ：(x − 2)² ＝ 9

かたまり (x − 2) が「2乗すると9になる」のだから、x − 2 ＝ ±3。

\[x = 2 + 3 = 5 \quad または \quad x = 2 - 3 = -1\]

(なんとか)² ＝ 数 の形にさえなれば、平方根で解ける。

平方完成 — どんな式もこの型へ

\[x^2 + 6x + 2 = 0\]

左辺は因数分解できない。そこで、むりやり (x ＋ m)² の形を作り出す。乗法公式 (x ＋ m)² ＝ x² ＋ 2mx ＋ m² を見ると、xの係数6は 2m にあたるから m ＝ 3、そのとき必要な定数は m² ＝ 9 だ。

\[x^2 + 6x + 2 = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 2 = (x + 3)^2 - 7\]

9をたして、同じ9をひく——式の値を変えずに形だけ変える、この変形を平方完成（へいほうかんせい）というよ。方程式に戻ると、

\[(x + 3)^2 = 7 \quad \rightarrow \quad x + 3 = \pm\sqrt{7} \quad \rightarrow \quad x = -3 \pm \sqrt{7}\]

手順まとめ：xの係数の半分が m。m² をたしてひく。それだけだ。

例2 ：x² − 8x ＋ 3 ＝ 0 を平方完成で解く。

\[(x - 4)^2 - 16 + 3 = 0 \quad \rightarrow \quad (x - 4)^2 = 13 \quad \rightarrow \quad x = 4 \pm \sqrt{13}\]

平方完成は、二次関数の最大・最小（A2章）でも主役になる、一生ものの変形だよ。

れんしゅう

Q1 きほん

x² ＝ 49 の解は x ＝ ±□。□は？

Q2 きほん

(x − 3)² ＝ 16 の解のうち、大きいほうは？

Q3 ふつう

x² ＋ 10x ＋ □ ＝ (x ＋ 5)²。□は？

Q4 ふつう

x² − 6x ＋ 1 を平方完成すると (x − 3)² − □。□は？

Q5 ふつう

(x ＋ 1)² ＝ 5 の解は x ＝ −1 ± √□。□は？

Q6 チャレンジ

x² ＋ 4x − 3 ＝ 0 を平方完成で解くと x ＝ −2 ± √□。□は？

もっと れんしゅう

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