ステップ N10-4-3

解の公式

このページでまなぶこと

ax²＋bx＋c＝0 の解は x ＝ (−b±√(b²−4ac))/2a。平方完成を文字のまま実行しただけの、努力の結晶。

平方完成は強力だけど、毎回やるのは少し手間だ。そこで——一般の形 ax² ＋ bx ＋ c ＝ 0 を、文字のまま平方完成してしまおう。一度やっておけば、あとは結果に代入するだけになる。

両辺を a でわって、平方完成すると（途中式は補足にまわすが、やっていることは前ステップと同じ）、最終的にこうなる。

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

これが解の公式。どんな二次方程式でも、a、b、cを読み取って代入すれば解ける、まさに必殺技だ。

例1 ：x² ＋ 5x ＋ 3 ＝ 0（a ＝ 1、b ＝ 5、c ＝ 3）

\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}\]

例2 ：2x² − 3x − 1 ＝ 0（a ＝ 2、b ＝ −3、c ＝ −1）

\[x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}\]

bやcが負のときの符号ミスが事故の9割。「−b」「b²」「−4ac」を、かっこをつけて一つずつ代入しよう。

例3 ：因数分解できる式でも公式は使える。x² − 5x ＋ 6 ＝ 0 なら

\[x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} = 3, \ 2\]

因数分解 (x−2)(x−3) ＝ 0 と同じ答えだ。速いのは因数分解、確実なのは公式。まず因数分解を試し、できなければ公式——これが実戦の型だよ。

√の中身 b² − 4ac に注目。これが負になったら？　2乗して負になる実数はないから、実数の解はない……のだけど、話はそこで終わらない。「2乗して負になる数」を作ってしまう大胆な一手が、N11章「複素数」で待っている。

Q1 きほん

x² ＋ 3x ＋ 1 ＝ 0 の解は x ＝ (−3 ± √□)/2。□は？

Q2 きほん

x² − 5x ＋ 2 ＝ 0 の解は x ＝ (5 ± √□)/2。□は？

Q3 ふつう

x² ＋ 6x ＋ 4 ＝ 0 の解は x ＝ −3 ± √□。□は？

Q4 ふつう

2x² ＋ 5x ＋ 1 ＝ 0 の解は x ＝ (−5 ± √□)/4。□は？

Q5 チャレンジ

x² ＋ 2x ＋ 5 ＝ 0 の√の中身（b² − 4ac）は？（−16のように書いてね）

ボタンをおすと、あたらしいもんだいがでてくるよ。なんかいでもれんしゅうできるよ。