ステップ N10-4-4

二次方程式の文章題

このページでまなぶこと

立式→解く→場面に照らす、の型は一次方程式と同じ。ただし解が2つ出るので、場面に合わない解を捨てる判断が加わる。

たてが横より3cm短い長方形の紙があり、面積は40cm²。横の長さは？

横を x cmとすると、たては (x − 3) cm。面積の関係から——

\(x(x - 3) = 40\) \(x^2 - 3x - 40 = 0\) \((x - 8)(x + 5) = 0\) \(x = 8 \quad または \quad x = -5\)

ここで一次方程式にはなかった判断が入る。x ＝ −5 は長さとしてありえないから捨てて、答えは横8cm（たて5cm）。検算：8 × 5 ＝ 40 ✓

二次方程式の解は2つ出るのがふつう。数学の解のうち、場面に合うものだけが答え——この「現実に返す」ひと手間を忘れずに。

連続する2つの正の整数があり、その積は72。2つの数は？

小さいほうを x とすると——

\[x(x + 1) = 72 \quad \rightarrow \quad x^2 + x - 72 = 0 \quad \rightarrow \quad (x - 8)(x + 9) = 0\]

x ＝ 8 または x ＝ −9。「正の整数」という条件から x ＝ 8。答えは 8と9（8 × 9 ＝ 72 ✓）。

ボールを投げ上げてから x 秒後の高さが y ＝ 30x − 5x²（m）で表されるとき、高さが25mになるのは何秒後？

\[30x - 5x^2 = 25 \quad \rightarrow \quad x^2 - 6x + 5 = 0 \quad \rightarrow \quad (x - 1)(x - 5) = 0\]

x ＝ 1 と x ＝ 5、両方とも意味がある——上がりながら1秒後に25mを通過し、落ちながら5秒後にもう一度25mを通る。解が2つあることが、ちゃんと現実に対応している例だ。捨てるか活かすかは、場面が教えてくれる。

Q1 きほん

ある正の数xを2乗すると、もとの数の4倍になる。x は？（0以外で）

Q2 きほん

連続する2つの正の整数の積が56のとき、小さいほうの数は？

Q3 ふつう

横がたてより5cm長い長方形の面積が36cm²のとき、たての長さは？

Q4 ふつう

ある正の数に3をたして2乗したら49になった。もとの数は？

Q5 チャレンジ

正方形の1辺を2cmのばしたら、面積がもとより24cm²増えた。もとの1辺は？

ボタンをおすと、あたらしいもんだいがでてくるよ。なんかいでもれんしゅうできるよ。