無理数との 出会い

√2は分数で書けるか？

分数（整数/整数）で表せる数を有理数（ゆうりすう）というよ。整数も小数 0.75（＝3/4）も有理数だ。

では√2は？　1.41421356…に近い分数はいくらでも作れる。141/100、1414/1000……。でも、2乗してぴったり2になる分数は、どこまで探しても見つからない。

じつは「√2は分数では表せない」ことが、証明できる。「√2が分数で書けたとすると、矛盾が起きる」という背理法によるあざやかな証明で、その味わいは S2「証明の技法」でじっくり体験する。ここでは結論だけ受け取っておこう——

√2は有理数ではない。 このような数を無理数（むりすう）というよ。

小数で見ると

分数は、小数にすると必ず「終わる」か「循環する」（N5章のわり算を思い出そう。余りのパターンは有限だから、いつか同じ余りに戻る）。循環しない無限小数は、だから分数ではありえないんだ。

そういえば円周率にも 3.14 と「およそ」をつけ続けてきたね。あれも無理数だったのだ（この事実の証明はとてもむずかしく、大学数学でも上級編。ここでは事実として知っておこう）。

数直線にあいた「すきま」

有理数は数直線にびっしり並んでいるように見える。でも√2の場所には、有理数はいない。有理数だけでは数直線は埋まらない——有理数と無理数をあわせてはじめて、すきまのない数直線（実数）が完成する。この壮大な話の続きは、N11章「実数」で。

れんしゅう