ステップ N10-3-3

根号の加減と有理化

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同じ√は文字のようにまとめられる（2√3 ＋ 5√3 ＝ 7√3）。分母の√は、分母分子に同じ√をかけて消す（有理化）。

√2を「xのような1つの記号」と見ると、たし算・ひき算は同類項の計算と同じだ。

\[2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3} \qquad （2x + 5x = 7xと同じ形）\]

ちがう√どうしはまとめられない。2√2 ＋ 3√5 はこれ以上簡単にならない——2x ＋ 3y をまとめられないのと同じだ。

例1 ：一見ちがう√でも、簡単にすると同類になることがある。

\[\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\]

まず中を軽くしてからまとめるのが手順だよ。

\[\frac{1}{\sqrt{2}}\]

分母に√があると、値の見当がつけにくいし計算もしづらい。そこで分母と分子に同じ√をかけて、分母から√を追い出す。

\[\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

これを有理化（ゆうりか）という。「分母と分子に同じ数をかけてよい」——分数の性質（N5章）がここでも主役だ。

例2 ：

\[\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\]

有理化すると約分できて、ぐっと軽くなることも多い。

例3 ：√2 ≈ 1.414 を知っていれば、1/√2 ＝ √2/2 ≈ 0.707 と暗算できる。有理化は「値を見えるようにする」実用の技でもあるんだ。

Q1 きほん

3√5 ＋ 4√5 ＝ □√5。□は？

Q2 きほん

8√2 − 3√2 ＝ □√2。□は？

Q3 ふつう

√8 ＋ √18 ＝ □√2。□は？

Q4 ふつう

1/√5 を有理化すると √5/□。□は？

Q5 ふつう

10/√2 を有理化して簡単にすると □√2。□は？

Q6 チャレンジ

√27 − √12 ＋ √3 ＝ □√3。□は？

ボタンをおすと、あたらしいもんだいがでてくるよ。なんかいでもれんしゅうできるよ。