根号の 計算

かけ算・わり算は中身どうし

\[\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\]

なぜ成り立つ？　√a × √b を2乗してみると (√a × √b)² ＝ (√a)² × (√b)² ＝ ab。2乗してabになる正の数なのだから、それは√abそのものだ——定義に戻れば一発で確かめられる。

例1 ：√2 × √8 ＝ √16 ＝ 4。√どうしのかけ算で、√が消えることもある。

例2 ：√27 ÷ √3 ＝ √9 ＝ 3。

√の中を軽くする — a√b

√12 のような数は、中身を素因数分解（N4章）してみよう。12 ＝ 2² × 3 だから——

\[\sqrt{12} = \sqrt{2^2 \times 3} = \sqrt{2^2} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\]

中に2乗の因数があれば、√の外に出せる。√の中はできるだけ小さくするのが約束だ（分数の約分と同じ心）。

例3 ：√50 ＝ √(25 × 2) ＝ 5√2

例4 ：√72 ＝ √(36 × 2) ＝ 6√2

逆向きの変形も大事。3√2 ＝ √9 × √2 ＝ √18 と、外の数を中に戻せば大小比較ができる：3√2 と √17 なら、√18 ＞ √17 で 3√2 の勝ち。

よくあるまちがい

\[\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}\]

かけ算はバラせるが、たし算はバラせない。√(9 ＋ 16) ＝ √25 ＝ 5 だけど、√9 ＋ √16 ＝ 3 ＋ 4 ＝ 7。まるでちがう。乗法公式の (a＋b)² ≠ a² ＋ b² と同じ落とし穴だよ。

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