平均値の定理

平均の速さと、瞬間の速さ

2時間で120km走った車の平均時速は60km。では走行中のどこかで、スピードメーターがちょうど60kmを指した瞬間はあるか？——あるに決まっている。ずっと60超なら平均も60を超え、ずっと60未満なら平均も届かないから。

この直観の定式化が平均値の定理だ：

f が [a, b] で連続、(a, b) で微分可能なら——

\[\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) \quad となる c が (a, b) に存在する\]

左辺は平均の傾き（割線の傾き）、右辺はどこかの瞬間の傾き（接線）。図で言えば「割線と平行な接線が途中に必ず引ける」。

証明の土台は、両端の値が等しい特別な場合——ロルの定理（f(a) ＝ f(b) なら f′(c) ＝ 0 となる c がある）。最大値の定理（前たんげん！）で最大点をとれば、そこが内部にあれば傾き0。一般の場合は、グラフから割線を引いた関数にロルを適用すればよい。最大値の定理 → ロル → 平均値——定理が定理を生む連鎖だ。

「f′ ＞ 0 なら増加」に保証書を

A4からずっと使ってきた増減の原理を、ついに証明できる。

区間で f′ ＞ 0 とする。任意の2点 x₁ ＜ x₂ をとると、平均値の定理で——

\[f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) > 0 \quad （f'(c) > 0、x_2 - x_1 > 0）\]

つまり f(x₁) ＜ f(x₂)——増加 ∎ 増減表もグラフの議論も、この一行の上に立っていた。

例1 ：同様に「区間で f′ ＝ 0 なら f は定数」も出る（差が f′(c)(x₂ − x₁) ＝ 0）。だから「微分して同じ関数は定数差しかない」——不定積分の ＋C（A4）の正当化がこれだ。

例2 ：不等式の証明にも使える。x ＞ 0 で eˣ ＞ 1 ＋ x を示すには、g(x) ＝ eˣ − 1 − x が g(0) ＝ 0、g′(x) ＝ eˣ − 1 ＞ 0（x ＞ 0）で増加だから g(x) ＞ 0 ∎ ——N11の「差をとる」戦法が、微分と合体して強化された。

例3 ：f(x) ＝ x² の [1, 3] で平均値の定理の c を求めると、平均の傾き (9 − 1)/2 ＝ 4 ＝ f′(c) ＝ 2c より c ＝ 2。ちゃんと区間の内部にある ✓

よくあるまちがい

その1：cの場所がわかると思う。 定理は「存在する」としか言わない（存在定理——中間値の定理と同じ型）。それでも役に立つのは、例1・2のように「どこかにあるだけで結論が出る」使い方をするからだ。

その2：微分可能の条件を忘れる。 f(x) ＝

x

は [−1, 1] で連続だが x ＝ 0 で微分不可能。平均の傾き0の接線はどこにもない（傾きは±1だけ）——条件が欠けると定理は崩れる。

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