テイラーの定理 — 関数を多項式で近似する

電卓はどうやって sin を計算しているのか

sin 0.3 を電卓が一瞬で返す。でも計算機ができるのは、根本的にはたし算とかけ算だけ——つまり多項式しか計算できない。sin をどうやって？

答え：sin を多項式で近似している。その理論がテイラーの定理だ。

係数を「微分で取り出す」

まず f(x) を多項式 c₀ ＋ c₁x ＋ c₂x² ＋ c₃x³ ＋ … で近似するとしよう。0での値と導関数を一致させるには、係数をどう決めればよいか？

• x ＝ 0 を代入 → c₀ ＝ f(0)
• 1回微分して x ＝ 0 → c₁ ＝ f′(0)
• 2回微分すると x² の項から 2c₂ が出る → c₂ ＝ f″(0)/2
• 3回微分すると 3・2・1・c₃ → c₃ ＝ f‴(0)/3!

一般に cₙ ＝ f⁽ⁿ⁾(0)/n!（階乗はP1以来の再会！）。つまり——

\[f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)\]

最後の Rₙ(x) が近似の誤差（剰余項）だ。これを見積もるのがテイラーの定理。xが0に近ければ、有限個の項でもよい近似になる。

さらに n → ∞ で Rₙ(x) → 0 と証明できる範囲では、はじめて無限級数

\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\]

と関数が一致する。何回でも微分できるだけでは一致は保証されない。たとえば f(0) ＝ 0、x ≠ 0 で f(x) ＝ e^(−1/x²) とする関数は、0での導関数がすべて0なのに、0以外では正になる。「滑らか」と「テイラー級数に等しい（解析的）」は別の条件だ。

三大関数を展開する

ここから扱う eˣ、sin x、cos x では、剰余項が0へ近づくことを見積もれるので、テイラー級数と関数が実際に一致する。

eˣ ：何回微分しても eˣ、x ＝ 0 で1。だから全係数が 1/n!——

\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\]

x ＝ 1 とすれば e ＝ 1 ＋ 1 ＋ 1/2 ＋ 1/6 ＋ 1/24 ＋ … ≒ 2.708…（5項でもう2.71に迫る）。

sin x ：関数とその導関数は sin → cos → −sin → −cos → sin と4周期。x ＝ 0 での値は 0、1、0、−1 のくり返し——

\[\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\]

例1 ：sin 0.3 ≒ 0.3 − 0.027/6 ＝ 0.3 − 0.0045 ＝ 0.2955（真の値 0.29552…）。2項でこの精度——電卓の中身はこれだ。

例2 ：第1項だけの近似 sin x ≒ x は、あの名極限 sin x/x → 1（A5）の言い換え。振り子の等時性も、この近似の上に成り立っている。

cos x の展開は 1 − x²/2! ＋ x⁴/4! − …。並べて眺めると——eˣ の展開の項を、sin（奇数次）と cos（偶数次）が符号ちがいで分け合っている。この「符号のずれ」を i がぴったり埋めるのがオイラーの公式 e^(ix) ＝ cos x ＋ i sin x——G6の回転とA5のeが握手する、数学屈指の絶景だ（本格的な扱いは複素解析で）。

よくあるまちがい

その1：n! でわり忘れる。 x³ の係数は f‴(0)/3! ＝ f‴(0)/6。微分でx³から係数を取り出すとき3・2・1が出る——それを打ち消す分だ。

その2：大きいxでも少項で近似する。 0のまわりのテイラー多項式は、一般にxが0に近いほどよい近似になる。sin 10 を「10 − 10³/6」で計算したら大惨事（約−156.7、真値は約−0.54）。近似には有効範囲がある。

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