ε-δ 論法

出力の誤差に、入力の幅で応じる

数列の ε-N では「番号N」で応じた。関数 lim (x→a) f(x) ＝ L では、応じ方が変わる——入力をどれだけaに近づけるかの幅 δ（デルタ）だ。

\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Longrightarrow |f(x) - L| < \varepsilon\]

読み下すと：「どんな出力誤差 ε の挑戦にも、ある入力幅 δ で応じられる——x が a の δ 以内（ただし a 自身は除く）なら、f(x) は L の ε 以内」。

「a 自身は除く」（0 ＜

x − a

）に注目。極限は「近づいたときの行き先」であって「その場の値」ではない——穴あき関数の極限（A4）を語れたのは、この除外のおかげだ。

δを構成してみる

例1 ：lim (x→1) (2x ＋ 3) ＝ 5 を証明しよう。

ε ＞ 0 が与えられたとする。

f(x) − 5

＝

2x − 2

＝ 2

x − 1

。これを ε 未満にしたいから、δ ＝ ε/2 と選べば——

\[|x - 1| < \delta \Longrightarrow |f(x) - 5| = 2|x - 1| < 2 \cdot \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \quad ∎\]

傾き2の関数は入力誤差を2倍に拡大する——だから入力側は半分の幅で応じる。δはεの「逆算」だ。

例2 ：f(x) ＝ x² の x → 3。

x² − 9

＝

x ＋ 3

x − 3

。x を 3 の近く（たとえば

x − 3

＜ 1）に限れば

x ＋ 3

＜ 7 なので、δ ＝ min(1, ε/7) と選べばよい。「まず粗く縛って係数を抑え、それからεに合わせる」——ε-δの定番の型だ。

連続の定義も一行で

x ＝ a で連続 ⇔ lim (x→a) f(x) ＝ f(a)。ε-δで書けば、Lをf(a)に置きかえるだけ（このときは x ＝ a を除外しなくてよい）。A5で「行き先＝その場の値」と言った連続の定義が、完全に厳密な形になった。

例3 ：数列との連携も取れる。「f が a で連続で xₙ → a なら f(xₙ) → f(a)」——ε-δ と ε-N をつなぐと証明できる（fのδをもらい、xₙがδ以内に入る番号NをεNから取る）。2つの論法は同じゲームの2つの盤面なんだ。

よくあるまちがい

その1：δを先に固定してしまう。 δはεの挑戦を見てから選ぶ（εに依存してよい）。順序を逆にした主張は「一様連続」という別の（より強い）概念になってしまう。

その2：δの一意性を求める。 δ ＝ ε/2 が有効なら ε/3 でも有効。δはひとつ見つければ勝ち——最良のδを探す必要はない。

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