連続関数の2大定理

保証書のない道具は使わない

A5で中間値の定理を使い、最大・最小問題（A2、A5）では「最大値がある」ことを疑いもしなかった。でも本当にあるのか？ 厳密化の区間では、使ってきた道具に保証書を発行していく。

中間値の定理 — 二分法で証明する

主張 ：f が閉区間 [a, b] で連続、f(a) ＜ 0 ＜ f(b) なら、f(c) ＝ 0 となる c が (a, b) にある。

証明の心 ：区間を半分に割り、符号が変わる側を選ぶ——をくり返す（二分法）。区間の左端の列は単調増加で有界。実数の連続性（前たんげん！）により収束し、その行き先 c で、連続性から f(c) ＝ 0 が絞り出せる（もし f(c) ＞ 0 なら、連続性よりcの近くで全部正——左端たちが符号変化を挟み続けたことに矛盾。f(c) ＜ 0 も同様）∎

証明の部品は「実数の連続性」＋「ε-δの連続」。A5で直観に頼った定理が、公理から組み上がった。有理数の世界では偽になる（f(x) ＝ x² − 2 は有理数の範囲に零点がない）ことも、いまや明快だ——土台の連続性がないからだ。

最大値の定理

主張 ：閉区間 [a, b] 上の連続関数は、最大値と最小値を必ずとる。

2つの条件がどちらも外せないことを、反例で確かめよう。

例1（閉区間でないと） ：f(x) ＝ 1/x を開区間 (0, 1] で見ると、x → 0 でいくらでも大きくなり、最大値はない。

例2（連続でないと） ：[0, 1] 上で「x ＝ 0.5 だけ値0、他は x」という不連続な関数は、0.5 の直前までいくらでも 0.5 に近づくのに、その値をとる点がない——最大値なし。

例3（そろえば安泰） ：f(x) ＝ x³ − 3x を [0, 2] で——連続・閉区間なので最大値の存在は計算する前から保証され、あとは候補（極値と端）の比較で場所を特定するだけ（A4でやった手順の正当化！）。

「存在の保証」と「場所の特定」は別の仕事だ。微分は場所を教えるが、存在を保証していたのはこの定理だった。

「閉じている」ことの力

なぜ閉区間だと上手くいくのか。閉区間は「端が含まれ、逃げ場がない」——数列が区間内でどう動いても、行き先（の候補）が区間の中に必ずある（これも実数の連続性の帰結）。この「逃げ場のなさ」を一般化した概念がコンパクト性——位相（S4）で再会する、解析学の背骨のひとつだ。

よくあるまちがい

その1：開区間で最大値を探す。 (0, 1) 上の f(x) ＝ x に最大値はない（1に届かない）。定理の適用前に区間が閉じているかを確認する癖を。

その2：定理の逆を主張する。 「最大値を持つなら連続」は偽（不連続でもたまたま最大値を持つ関数はいくらでもある）。定理は一方通行——S2の「逆は必ずしも真ならず」だ。

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