ε-N 論法 — 「限りなく」の正体

「限りなく」は何と何の勝負か

1/n → 0（A4）。この「限りなく近づく」を、あいまいな言葉を使わずに言い切りたい。

こう考える——挑戦と応答のゲームだ。

挑戦者：「誤差 0.01 未満になれる？」 応答：「101番目から先は全部 |1/n| ＜ 0.01。なれる。」 挑戦者：「じゃあ 0.000001 未満は？」 応答：「1000001番目から先は全部OK。」

挑戦がどんなに厳しくても、必ず番号で応じられる——これが「限りなく近づく」の正体だ。記号で書くと：

\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n > N : |a_n - \alpha| < \varepsilon\]

「どんな ε ＞ 0 にも、ある N があって、n ＞ N のすべてで誤差が ε 未満」。これを ε-N論法という。∀（すべての）と∃（ある）——S2章の量化子が、3つ重ねで働いている。量化子の順序が命だ：εが先、Nが後。「挑戦を聞いてから応手を選ぶ」からこそ、Nはεに依存してよい。

定義をつかって証明する

例1 ：aₙ ＝ 1/n → 0 を ε-N で証明しよう。

ε ＞ 0 が与えられたとする。N を 1/ε 以上の整数にとれば、n ＞ N のとき——

\[|a_n - 0| = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} \le \varepsilon\]

どんなεにもこのNで応じられる。∎ ——「限りなく」という言葉を一度も使わずに、収束が証明できた。

例2 ：aₙ ＝ (2n ＋ 1)/n → 2 では、

aₙ − 2

＝ 1/n。だから例1とまったく同じNで応じられる。「差をεで抑える」に持ち込めば勝ち——証明の型はいつもこれだ。

例3 ：収束しないことも言える。aₙ ＝ (−1)ⁿ（1と−1の交互）がどんなαにも収束しないのは、ε ＝ 1/2 の挑戦に誰も応じられないから——どのNの先にも、αから1/2以上離れた項が必ずある（1と−1は距離2離れているので、両方をαの±1/2以内に入れられない）。

なぜここまで厳密にするのか

「限りなく近づく」の直観は、単純な数列なら十分働く。でもこの先——関数列の極限、無限級数の順序交換、積分と極限の交換——直観が平気で嘘をつく領域に入っていく。19世紀の数学者たちは実際に何度も「証明したはずの偽の定理」に足をすくわれ、その反省からこの定義が生まれた。ε-N は、無限を扱う際の安全装置なのだ。

よくあるまちがい

その1：量化子の順序を入れかえる。 「あるNがあって、どんなεでも……」と読むと、まったく別の（まず成り立たない）主張になる。εが先、Nが後——Nはεを見てから選んでよい。

その2：「n ＝ Nで小さければよい」と誤読。 条件は n ＞ N のすべての項。1点だけ近くても、その先で暴れたら収束ではない。

れんしゅう

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。

あたらしい もんだいを つくる