実数の連続性 — 単調有界列は収束する

実数の「すき間のなさ」

√2 に近づく数列 1、1.4、1.41、1.414、…を考えよう。単調に増えて、2を超えない。有理数の世界でこの数列の行き先を探すと——ない！ √2 は有理数ではないから（N10の背理法）。有理数の数直線には、そこに穴があいている。

実数はちがう。実数を実数たらしめる性質——連続性（完備性）——をこう約束する：

上に有界な（＝どの要素もある数M以下の）空でない集合には、上限（最小の上界）が存在する。

上界は「全員を上から抑える数」、上限はその中でいちばん小さいもの。{x

x² ＜ 2} の上限が √2——「穴があるべき場所に、必ず実数がいる」という宣言だ。

単調有界列の収束定理

連続性から、解析学でいちばん働く定理が出る：

単調増加で上に有界な数列は、収束する。

証明の心：数列の値の集合には上限 α がある（連続性！）。α は最小の上界だから、どんな ε ＞ 0 でも α − ε は上界でない——つまり α − ε を超える項 a_N がある。単調増加だから n ＞ N の項はすべて a_N 以上、かつ α 以下。全部が α の ε 以内に入った——ε-N の定義そのもの ∎

行き先の値を知らなくても、収束することだけは保証される——これがこの定理の凄みだ。

例1 ：aₙ ＝ (1 ＋ 1/n)ⁿ。計算すると 2、2.25、2.37、2.44、…と単調に増え、3を超えないことが示せる（二項定理で評価する）。よって収束する。この極限こそ——数 e だ（A5）。eの存在は、実数の連続性が保証していたのだ。

例2 ：a₁ ＝ 1、aₙ₊₁ ＝ √(2 ＋ aₙ)。増加で2以下（帰納法——A3——で示せる）だから収束。極限αは α ＝ √(2 ＋ α) をみたし、α² − α − 2 ＝ 0 から α ＝ 2。「収束の保証」があってはじめて、この方程式を立ててよい。

例3（区間縮小法） ：中間値の定理（A5）で使った「区間を半分にして絞る」二分法が本当に1点に収束するのも、この連続性のおかげ。左端の列は単調増加で有界——必ず行き先がある。

「当たり前」ではない

この定理、有理数の世界では偽だ（冒頭の√2の列が反例——単調有界なのに有理数の中に行き先がない）。つまりこれは論理だけから出る定理ではなく、実数という舞台の性質。だからこそ公理（約束）として立てる。A4以来使ってきた極限の議論ぜんぶが、実はこの一枚の土台の上に立っていた——それを確かめるのが、この区間「解析の厳密化」の仕事だ。

よくあるまちがい

その1：上界と上限の混同。 {x

x ＜ 2} の上界は 2 でも 3 でも 100 でもよいが、上限は 2 ただひとつ（最小の上界）。「上限 ＝ いちばん小さい上界」。

その2：「有界なら収束」と省略する。 (−1)ⁿ は有界だが収束しない。単調と有界の両方がそろってはじめて収束が出る。

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