たんげんテスト A6-5-3
たんげんテスト：積分の理論
この ページで まなぶ こと
- リーマン和と基本定理の証明をつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたらA6章は完了！ 章テストへ進もう。
「積分の理論」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
定積分の定義は？
かいせつ定積分は「高さ×幅の総和（リーマン和）の、刻みを細かくした極限」として定義される。原始関数で計算できるのは定義ではなく、微積分学の基本定理が証明してくれる事実。接線の傾きは微分のほう。
Q2
きほん
lim (1/n)Σ(i/n)² ＝ 1/□。□は？
かいせつ1/n が幅、(i/n)² が高さ——f(x) ＝ x² の [0, 1] でのリーマン和だから、極限は ∫₀¹ x² dx ＝ [x³/3]₀¹ ＝ 1/3。
Q3
きほん
閉区間上の連続関数は？
かいせつ連続なら刻みを細かくすると上和と下和の差が消えるので、閉区間上の連続関数は必ず積分可能。微分可能とは限らない（|x| は連続だが x ＝ 0 で微分不可能）し、単調とも限らない。
Q4
ふつう
S(x) ＝ ∫₀ˣ t³ dt の S′(2) ＝ ？
かいせつ基本定理（微分形）より S′(x) ＝ x³。よって S′(2) ＝ 2³ ＝ 8。被積分関数に x ＝ 2 を代入するだけでよい。
Q5
ふつう
S′(x) ＝ f(x) の証明で帯の高さを挟むのに使った定理は？
かいせつ幅 h の帯（閉区間）の中で連続な f が最小値 m と最大値 M をとることを保証するのが最大値の定理。m ≦ 帯の平均の高さ ≦ M と挟んでから h → 0 とし、連続性ではさみうちに持ち込む。
Q6
チャレンジ
ディリクレ関数が積分不可能な理由は？
かいせつどの小区間にも有理数（値1）と無理数（値0）が混在するため、上和は 1、下和は 0 のまま永遠に一致しない——「選び方によらず同じ極限」という積分可能の定義を満たせない。値は 0 と 1 で有界だし、閉区間で考えても不可能なまま。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！