無限級数の収束と発散

無限個たすとは、どういうことか

\[\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots\]

ケーキを半分食べ、残りの半分を食べ、また残りの半分を……。いつまでも食べ終わらないが、食べた総量は1個に限りなく近づく。

無限級数の値はこう定義する：はじめのn項の和（部分和 Sₙ）の極限。

\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} S_n\]

「無限個を一度にたす」魔法ではなく、「有限の和の行き先」——極限（ε-N！）に仕事を任せるのだ。

無限等比級数 — 公式が出る

等比数列の和の公式（A3）Sₙ ＝ a(1 − rⁿ)/(1 − r) で n → ∞ とすると、

r

＜ 1 なら rⁿ → 0（A4の基本極限）だから——

\[\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1 - r} \qquad (|r| < 1)\]

例1 ：1/2 ＋ 1/4 ＋ … ＝ (1/2)/(1 − 1/2) ＝ 1。ケーキの直観と一致 ✓

例2 ：0.999… ＝ 9/10 ＋ 9/100 ＋ … ＝ (9/10)/(1 − 1/10) ＝ 1。A4で極限として見た事実が、級数の公式からも出た。循環小数を分数に直す仕組み（N11）の正体は無限等比級数だったのだ。

例3 ：

r

≧ 1 なら部分和は暴走または振動して発散。1 − 1 ＋ 1 − 1 ＋ … に「答え」はない（部分和が 1, 0, 1, 0, …と振動）。

調和級数 — 直観を裏切る発散

\[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots\]

項はどんどん0に近づく。収束しそう——ところが発散する。オレームの見事な証明：項をグループにまとめる。

\[1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right)}_{> 1/2} + \underbrace{\left(\frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{8}\right)}_{> 1/2} + \cdots\]

各グループが 1/2 を超える（最小の項×個数で下から評価）。1/2 を無限回たせるから、和は∞ ∎

教訓：「項が0に近づく」は収束の必要条件であって十分条件ではない（S2の必要・十分の言葉が急所を突く）。逆は成り立つ——収束するなら項は0に近づく。だから「項が0に近づかない級数」は即座に発散と判定できる。

例4 ：Σ n/(n ＋ 1) は項が1に近づくので発散（一目でわかる）。

よくあるまちがい

その1：項→0 だから収束、と結論する。 調和級数が永遠の反例。項の減り方の速さが問題で、1/n では遅すぎる（1/n² なら収束する——次ステップ）。

**その2：

r

≧ 1 で公式を使う。** a/(1 − r) は

r

＜ 1 専用。r ＝ 2 で「1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ … ＝ −1」という珍答が出たら、適用条件を破った合図だ。

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