収束判定法

比べて判定する

正の項の級数 Σaₙ の収束を、行き先を計算せずに判定したい。頼れるのは単調有界列の収束定理（このたんげんの土台）だ——部分和は単調増加だから、上に抑えられれば収束が確定する。

比較判定法 ：0 ≦ aₙ ≦ bₙ で Σbₙ が収束するなら、Σaₙ も収束する（部分和が Σbₙ で上から抑えられるから）。

例1 ：Σ1/n² は収束するか。1/n² ≦ 1/(n(n − 1)) ＝ 1/(n − 1) − 1/n（部分分数！）で、右側の級数は望遠鏡式に打ち消し合って 1 に収束。抑えられた——収束 ∎

行き先の値そのものは、じつは π²/6（バーゼル問題、オイラーの名解答）。円周率が突然現れる不思議——数学の深部はつながっている。1/n（調和級数）は発散、1/n² は収束——指数1と2の間のどこかに、収束と発散の境界線が走っている。

ダランベールの判定法 — 比で見る

隣り合う項の比 aₙ₊₁/aₙ が r に収束するとき——

• r ＜ 1 → 収束（いずれ等比級数なみに減るから、等比級数と比較）
• r ＞ 1 → 発散（項が育ってしまい0に向かわない）
• r ＝ 1 → 判定不能（1/n も 1/n² も r ＝ 1——境界線上は感度不足）

例2 ：Σ n/2ⁿ。比は ((n＋1)/2ⁿ⁺¹)/(n/2ⁿ) ＝ (n ＋ 1)/(2n) → 1/2 ＜ 1——収束。分子のnの成長を、分母の2ⁿが圧倒する（多項式 vs 指数——A2以来の力関係）。

例3（テイラー展開の保証書） ：eˣ ＝ Σxⁿ/n! はどんなxでも収束するのか。比をとると——

\[\frac{|x|^{n+1}/(n+1)!}{|x|^n/n!} = \frac{|x|}{n+1} \longrightarrow 0 < 1\]

どんなxでも収束 ∎ 階乗の成長は、どんな指数関数をも最後には追い抜く。前たんげんのテイラー展開が安心して使えるのは、この判定のおかげだ。sin・cos の展開も同様に全実数で収束する。

よくあるまちがい

その1：r ＝ 1 で結論を出す。 ダランベールが r ＝ 1 を返したら「わからない」が正解。別の道具（比較判定法など）に切りかえる。

その2：比較の向きを逆にする。 「大きいほうが収束→小さいほうも収束」「小さいほうが発散→大きいほうも発散」。この2つだけが正しい推論。「小さいほうが収束」からは何も言えない。

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