ステップ N11-2-3

判別式と解と係数の関係

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D ＝ b² − 4ac の符号で「異なる2実数解／重解／異なる2虚数解」が決まる。ax²＋bx＋c＝0 の2解の和は −b/a、積は c/a。

解の公式の√の中身に、正式な名前を与えよう。

\[D = b^2 - 4ac \quad （判別式）\]

√Dの正体によって、解のようすが3つに分かれる。

N10章では「D ＜ 0 なら実数の解はない」で止まっていた。いまや √(−16) ＝ 4i と書けるから、解の公式はどんな場合でも解を返す。

例1 ：x² ＋ 2x ＋ 5 ＝ 0。D ＝ 4 − 20 ＝ −16 ＜ 0。解は x ＝ (−2 ± 4i)/2 ＝ −1 ± 2i。共役のペアで現れるのが虚数解の特徴だ。

ax² ＋ bx ＋ c ＝ 0 の2つの解を α、β とすると——

\[\alpha + \beta = -\frac{b}{a} \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}\]

理由は因数分解にある。a(x − α)(x − β) を展開して係数を見比べればよい（「たして・かけて」の因数分解の一般化だ）。

例2 ：x² − 5x ＋ 3 ＝ 0 の2解の和は 5、積は 3。解そのものは (5 ± √13)/2 という面倒な形なのに、和と積だけなら方程式を解かずにわかる——これがこの関係の威力だよ。

Q1 きほん

x² ＋ 6x ＋ 4 ＝ 0 の判別式 D の値は？

Q2 きほん

x² ＋ 2x ＋ 3 ＝ 0（D ＝ −8）の解のようすは？

Q3 ふつう

x² − 8x ＋ k ＝ 0 が重解を持つときの k は？

Q4 ふつう

x² − 7x ＋ 2 ＝ 0 の2解の和は？

Q5 ふつう

x² − 7x ＋ 2 ＝ 0 の2解の積は？

Q6 チャレンジ

2解の和が 4、積が 5 の二次方程式 x² − 4x ＋ 5 ＝ 0 の解は 2 ± □i。□は？

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