ステップ A3-1-1

等差数列

この ページで まなぶ こと

  • 等差数列の一般項 aₙ ＝ a₁ ＋ (n − 1)d を導けるようになる
  • 等差数列の和の公式をガウスの方法で導けるようになる

一定の差 d（公差）でならぶ数列が等差数列。第n項は aₙ ＝ a₁ ＋ (n − 1)d。和は Sₙ ＝ n(a₁ ＋ aₙ)/2——「逆順にたして2でわる」ガウスの技。

ならんだ数に、番号と規則を

3、7、11、15、19、…

ならんだ数の列を数列といい、各数を項、n番目の項を aₙ と書く。a₁ ＝ 3、a₂ ＝ 7、…。この数列の規則は「4ずつ増える」——となり合う項の差がつねに一定の数列を等差数列、その差 d を公差という。

一般項 — 100番目を一瞬で

a₁₀₀ を知りたい。3にいくつ4をたせばいいか——a₂までに1回、a₃までに2回、…、a₁₀₀までに99回。

\[a_n = a_1 + (n - 1)d\]

(n − 1) 回たすのがポイント（項と項の間の数は、項の数より1つ少ない——N2の植木算の風景！）。

例1 ：3、7、11、… の第100項は a₁₀₀ ＝ 3 ＋ 99 × 4 ＝ 399。

例2 ：初項10、公差 −3 の数列の第8項は 10 ＋ 7 × (−3) ＝ −11。公差は負でもいい——「等差」は減っていく列も含む。

例3 ：等差数列 5、8、11、… の第n項が50になるのは？ 5 ＋ (n − 1)3 ＝ 50 を解いて n ＝ 16。一般項は「n の一次式」——一次関数（A1）の親戚だと気づいたかな。グラフに打てば、とびとびの点が一直線にならぶ。

和の公式 — 少年ガウスの逆転の発想

1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ 100 ＝ ？ 少年ガウスは即答したと伝えられる：5050。

種明かし：列をもう1本、逆順に書いて上下でたす。

   1 +   2 + … +  99 + 100
 100 +  99 + … +   2 +   1
 ---------------------------
 101 + 101 + … + 101 + 101   （101が100個）

2本分の合計が 101 × 100 ＝ 10100。1本分はその半分 5050。

どんな等差数列でも同じ技が効く。上下のペアの和はいつも「初項＋末項」だから——

\[S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\]

（項数）×（初項＋末項）÷ 2。「平均 × 個数」と読むこともできる——等差数列の平均は、ちょうど両端の真ん中だ。

例4 ：3、7、11、… の初項から第10項まで。a₁₀ ＝ 3 ＋ 36 ＝ 39。S₁₀ ＝ 10 × (3 ＋ 39)/2 ＝ 210。

検算：最初の数項でためす。S₂ ＝ 2 × (3 ＋ 7)/2 ＝ 10 ＝ 3 ＋ 7 ✓

よくあるまちがい

その1：(n − 1) を n にしてしまう。 a₁₀₀ ＝ 3 ＋ 100 × 4 は誤り。初項からのステップ数は 99。a₂ ＝ a₁ ＋ d（1回だけ）で確かめる習慣を。

その2：和の公式の n を末項と混同。 Sₙ の n は項数。「3から39まで」の項数は (39 − 3)/4 ＋ 1 ＝ 10個——ここでも植木算の「＋1」だ。

れんしゅう

Q1 きほん

等差数列 3、7、11、… の公差は？

Q2 きほん

初項3、公差4の等差数列の第10項は？

Q3 きほん

1 ＋ 2 ＋ … ＋ 100 ＝ ？

Q4 ふつう

初項10、公差 −3 の等差数列の第8項は？（−11 のように書いてね）

Q5 ふつう

初項3、公差4の数列の初項から第10項までの和は？

Q6 ふつう

1 ＋ 2 ＋ … ＋ 20 ＝ ？

Q7 チャレンジ

等差数列 5、8、11、… で50が現れるのは第何項？

項

もっと れんしゅう

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