ステップ A3-1-2
等比数列
この ページで まなぶ こと
- 等比数列の一般項 aₙ ＝ a₁rⁿ⁻¹ を導けるようになる
- 等比数列の和の公式を「ずらして引く」で導けるようになる
一定の倍率 r（公比）でならぶ数列が等比数列。第n項は aₙ ＝ a₁rⁿ⁻¹。和は Sₙ ＝ a₁(rⁿ − 1)/(r − 1)——「r倍してずらして引く」と途中が全部消える。
たすかわりに、かける
3、6、12、24、48、…
今度は「2倍ずつ」進む列だ。となり合う項の比がつねに一定の数列を等比数列、その倍率 r を公比という。
一般項は、初項に r を (n − 1) 回かけて——
\[a_n = a_1 r^{n-1}\]例1 ：3、6、12、… の第7項は 3 × 2⁶ ＝ 192。
例2 ：初項5、公比3の第4項は 5 × 3³ ＝ 135。
等差数列が一次関数の親戚なら、等比数列は指数関数の親戚（A2）。細菌の増殖も複利の預金も、足あとを並べれば等比数列だ。
和の公式 — ずらして引くと、途中が消える
S ＝ 3 ＋ 6 ＋ 12 ＋ 24 ＋ 48 を一気に求めたい。ガウスの逆順は効かない（ペアの和がそろわない）。等比数列には別の魔法がある——全体を公比倍してみるのだ。
S ＝ 3 ＋ 6 ＋ 12 ＋ 24 ＋ 48
2S ＝ 6 ＋ 12 ＋ 24 ＋ 48 ＋ 96
下から上を引くと、まん中がぜんぶ消えて——
\[2S - S = 96 - 3 \quad\Longrightarrow\quad S = 93\]一般化すると、r ≠ 1 のとき——
\[S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}\]例3 ：初項3、公比2、5項の和：S₅ ＝ 3(2⁵ − 1)/(2 − 1) ＝ 3 × 31 ＝ 93 ✓（上の手計算と一致）
例4 ：初項1、公比3の4項の和：(3⁴ − 1)/2 ＝ 80/2 ＝ 40。検算：1 ＋ 3 ＋ 9 ＋ 27 ＝ 40 ✓
この「ずらして引く」は、二項定理の証明や、ずっと先の無限級数（A6）でも使い回す一生ものの技だ。手を動かして一度自分で消してみてほしい。
倍々の威力
例5 ：「1日目に1円、2日目に2円、4円、8円…と30日間もらう」——総額は？
S₃₀ ＝ 2³⁰ − 1 ≒ 10億7千万円。等比数列の和は、末項のほぼ公比/(公比 − 1) 倍——つまり最後の1項が全体の約半分を占める。指数的な成長の直観に反する怖さがここにある。
よくあるまちがい
その1：rⁿ⁻¹ を rⁿ にする。 第n項までに公比をかける回数は n − 1 回。等差の (n − 1)d と同じ「植木算」だ。
その2：r ＝ 1 で和の公式を使う。 分母が0になってしまう。公比1の数列は同じ数のくり返しだから、和はただの na₁——場合分けを忘れずに。
れんしゅう
等比数列 3、6、12、… の公比は？
初項3、公比2の等比数列の第5項は？
1 ＋ 3 ＋ 9 ＋ 27 ＝ ？
初項5、公比3の等比数列の第4項は？
初項3、公比2の初項から第5項までの和は？
初項1、公比2の初項から第10項までの和は？
等比数列 2、6、18、… で162が現れるのは第何項？
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！