Σ記号と和の公式

「…」を卒業する

1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ n。この「…」は読み手の想像力にたよった書き方だ。数学はもっと正確な速記を用意している。

\[\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + 3 + \cdots + n\]

Σ（シグマ、ギリシャ文字のS——SumのS）は「kを1からnまで動かして、ぜんぶたせ」という命令。下が出発、上が終点、右が「たすものの式」だ。

例1 ：Σ（k＝1から4）k² ＝ 1² ＋ 2² ＋ 3² ＋ 4² ＝ 30。

例2 ：Σ（k＝1から5）2ᵏ ＝ 2 ＋ 4 ＋ 8 ＋ 16 ＋ 32 ＝ 62（等比数列の和！）。

基本公式 — 2つ覚えれば戦える

\[\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

1つ目はガウスの公式（前たんげん）。2つ目は新顔だが、n ＝ 4 で検算できる：4 × 5 × 9/6 ＝ 30 ✓（例1と一致）。なぜ成り立つかは、次のたんげん「数学的帰納法」で証明する——楽しみにしていて。

あとひとつ、定数の和：Σ（k＝1からn）c ＝ cn（cをn回たすだけ）。

Σはバラせる — 線形性

\[\sum (a_k + b_k) = \sum a_k + \sum b_k \qquad \sum c\,a_k = c \sum a_k\]

たし算の順序はどう変えてもいい（N1以来の結合・交換法則）から、和は分割でき、共通の倍率はくくり出せる。

例3 ：Σ（k＝1からn）(2k ＋ 3) を閉じた式にしよう。

\[\sum(2k + 3) = 2\sum k + \sum 3 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 3n = n^2 + 4n\]

検算：n ＝ 2 なら 5 ＋ 7 ＝ 12。式でも 4 ＋ 8 ＝ 12 ✓

例4 ：Σ（k＝1から10）(k² − k) ＝ 385 − 55 ＝ 330。

公式2つと線形性——この3点セットで、多項式の和はぜんぶ機械的に計算できる。

よくあるまちがい

その1：Σk² と (Σk)² の混同。 n ＝ 3 で比べると、Σk² ＝ 14、(Σk)² ＝ 36。2乗してからたすのと、たしてから2乗するのは別の操作だ。

その2：定数の和を c にする。 Σ（k＝1からn）3 ＝ 3 ではなく 3n。「3をn回たす」——Σの命令を思い出そう。

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