漸化式と階差数列

「次の作り方」で列を決める

数列の決め方には2通りある。一般項（n番目を直接書く式）と、もうひとつ——

\[a_1 = 3, \qquad a_{n+1} = a_n + 4\]

「最初は3。次の項は前の項に4をたしたもの」。この「となりの関係式」を漸化式（ぜんかしき）という。ドミノのように、a₁ から a₂、a₂ から a₃、…と、すべての項が順に決まっていく。

例1 ：a₁ ＝ 3、aₙ₊₁ ＝ aₙ ＋ 4 の a₄ は？ 3 → 7 → 11 → 15。これは初項3・公差4の等差数列そのもの——漸化式 aₙ₊₁ ＝ aₙ ＋ d は等差数列の別名だ。

例2 ：a₁ ＝ 3、aₙ₊₁ ＝ 2aₙ は初項3・公比2の等比数列。一般項は 3 × 2ⁿ⁻¹。

例3 ：a₁ ＝ 1、aₙ₊₁ ＝ 2aₙ ＋ 1 の最初の数項は 1、3、7、15、31、…。各項に1をたすと 2、4、8、16、32——おや、等比数列だ。つまり aₙ ＋ 1 ＝ 2ⁿ、一般項は aₙ ＝ 2ⁿ − 1。「うまく変形すると知っている形になる」——漸化式攻略の合言葉だよ。

検算：漸化式に代入。a₄ ＝ 2 × 7 ＋ 1 ＝ 15 ＝ 2⁴ − 1 ✓

階差数列 — 差の列から復元する

数列 1、2、4、7、11、16、… の規則は？ 差をとってみると 1、2、3、4、5——差の列（階差数列）が等差数列になっている。

もとの数列は「初項に、差を積み上げたもの」だから、n ≧ 2 で——

\[a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \qquad （b_k は階差数列）\]

例4 ：上の数列の一般項を求めよう。bₖ ＝ k だから——

\[a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2}\]

検算：n ＝ 4 で 1 ＋ 6 ＝ 7 ✓（Σの上端が n − 1 なのに注意——a₄ までにたす差は3個だ。）

前ステップのΣが、さっそく道具として働いた。差をとる → Σで積み上げて戻す——この往復は、微分と積分の関係の「数列版の予告編」になっている。

よくあるまちがい

その1：漸化式と一般項の混同。 aₙ₊₁ ＝ aₙ ＋ 4 は「作り方」であって、a₁₀₀ を直接は教えてくれない。100項ぶん回すか、一般項 aₙ ＝ 4n − 1 に直すか——直すほうが圧倒的に速い。

その2：階差の公式の上端。 Σの上端を n にすると1個多くたしてしまう。n ＝ 2 で確かめる（a₂ ＝ a₁ ＋ b₁、差は1個）くせをつけよう。

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