ステップ S2-2-1
直接証明 — 文字の力
この ページで まなぶ こと
- 文字式を使って「すべての場合」を一気に証明できるようになる
偶数を2m、奇数を2m＋1と表せば、無限にある場合をたった1つの式であつかえる。仮定から出発して結論まで式変形でつなぐのが直接証明。
例をいくら集めても足りない
「偶数と偶数の和は偶数である」——2＋4＝6、10＋8＝18、たしかにそうなる。でも偶数は無限にある。全部の組を確かめることは永遠にできない。
ここで文字式（N9章）が本領を発揮する。偶数とは2×(整数)の形の数のことだから、どんな偶数も、整数 m、n を使って 2m、2n と書ける。すると——
\[2m + 2n = 2(m + n)\]m ＋ n は整数だから、2(m ＋ n) は 2×(整数)、つまり偶数。おしまい！
たったこれだけの式変形が、無限にあるすべての偶数の組を一気にカバーしている。これが直接証明——仮定から出発し、定義と計算だけで結論までつなぐ、いちばん基本の証明だ。
型を身につける
証明の骨組みはこうなる。
- 仮定を文字で表す（偶数 → 2m、奇数 → 2m ＋ 1、連続する2整数 → n、n ＋ 1）
- 式変形する
- 結論の形に持ちこむ（偶数だと言いたければ 2×(整数) の形を作る）
例1 ：「奇数と奇数の和は偶数である」を証明しよう。
奇数を 2m ＋ 1、2n ＋ 1（m、nは整数）とすると、
\[(2m + 1) + (2n + 1) = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1)\]m ＋ n ＋ 1 は整数だから、和は偶数。∎（この記号は「証明おわり」の印だよ）
例2 ：「連続する2つの整数の和は奇数である」。
連続する2整数を n、n ＋ 1 とすると、
\[n + (n + 1) = 2n + 1\]2×(整数)＋1 の形だから奇数。∎
ひとつ注意。奇数2つを 2m ＋ 1、2m ＋ 1 と同じ文字で表してはいけない。それだと「同じ奇数どうし」しか表せない。別々に動けるものには別々の文字——これが文字使いの鉄則だ。
れんしゅう
証明で「偶数」を文字で表すと？（mは整数）
証明で「奇数」を文字で表すと？（mは整数）
偶数2mと奇数2n＋1の和は 2(m ＋ n) ＋ □ となり、奇数である。□は？
「奇数2つの和」の証明で、2m＋1 と 2n＋1 のように別の文字を使う理由は？
奇数 2m＋1 を2乗すると 4m² ＋ 4m ＋ 1 ＝ 2(2m² ＋ 2m) ＋ 1。これは「奇数の2乗は□である」ことの証明になっている。□に入ることばは？
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！