ステップ S2-2-2

対偶による 証明

この ページで まなぶ こと

  • 直接示しにくい命題を、対偶に言いかえて証明できるようになる

もとの命題と対偶は真偽が一致する（S1章）。だから対偶を証明すれば、もとの命題も証明したことになる。「結論の否定」が扱いやすいときに有効。

裏口から攻める

\[n^2 が偶数ならば、n は偶数である\]

これを直接証明しようとすると、「n² ＝ 2k から n を求める」ことになり、√が出てきてやっかいだ。

そこで S1章の切り札を思い出そう。もとの命題と対偶は、真偽がつねに一致する。つまり、対偶を証明できれば、もとの命題も証明できたことになる！

対偶を作る：「nが偶数でない（＝奇数）ならば、n²は偶数でない（＝奇数）」。

こちらは直接証明がすんなり通る。n ＝ 2m ＋ 1 とおくと——

\[n^2 = (2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 2(2m^2 + 2m) + 1\]

2×(整数)＋1 の形だから n² は奇数。対偶が証明できたので、もとの命題「n²が偶数ならばnは偶数」も真。∎

いつ対偶に切りかえるか

見きわめのサインはこれだ。

  • 仮定「n²が偶数」より、結論の否定「nが奇数」のほうが具体的に書ける（2m＋1とおける）
  • 「〜でない」の形の結論は、否定するとむしろ「〜である」になって扱いやすい

例2 ：「n²が3の倍数でないならば、nは3の倍数でない」——対偶は「nが3の倍数ならば、n²は3の倍数」。n ＝ 3m とおけば n² ＝ 9m² ＝ 3(3m²)。一瞬で終わる。∎

方向を変えるだけで、険しい山道が舗装路になる。論理の同値変形は、証明の抜け道を作る技術なんだ。

れんしゅう

Q1 きほん

「n²が偶数ならばnは偶数」の対偶はどれかな？

Q2 きほん

対偶を証明すると、もとの命題はどうなる？

Q3 ふつう

奇数 n ＝ 2m ＋ 1 の2乗 n² ＝ 2(2m² ＋ 2m) ＋ □。□は？

Q4 ふつう

「n ＋ 5 が偶数ならば、nは奇数」を対偶で証明するとき、示すべきことはどれかな？

Q5 チャレンジ

対偶による証明が有利になるのはどんなとき？

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。