たんげんテスト S2-2-4
たんげんテスト：証明の技法
この ページで まなぶ こと
- 直接証明・対偶・背理法の考えかたをつかいこなせるかたしかめる
全部正解できたらS2章は完了！ きみはもう証明が読める・書ける人だ。
「証明の技法」のたんげんテストだよ。
テスト
Q1
きほん
「すべての場合で成り立つ」ことを示すのに使えるのはどれ？
かいせつ例を10個確かめても、残りの無限にある場合は保証できない。偶数を2mとおくように文字式で表せば、すべての場合を一気にあつかえる——これが証明の力だよ。
Q2
きほん
連続する2つの整数を文字で表すと？
かいせつ連続する整数は1ちがいだから、n と n ＋ 1 と表すよ。n と n ＋ 2 は2つとび（連続する偶数や奇数の表しかた）になってしまうね。
Q3
きほん
偶数 2m と偶数 2n の積は 2 × □ の形になり偶数である。□に入る式は 2mn。では奇数 (2m＋1) と奇数 (2n＋1) の積 4mn ＋ 2m ＋ 2n ＋ 1 ＝ 2(2mn ＋ m ＋ n) ＋ □。□は？
かいせつ4mn ＋ 2m ＋ 2n ＋ 1 の前3項を2でくくると 2(2mn ＋ m ＋ n) ＋ 1。2×(整数)＋1 の形だから□は1で、奇数どうしの積は奇数だと証明できたよ。
Q4
ふつう
「n²が奇数ならばnは奇数」を対偶で証明する。示すべきことは？
かいせつ対偶は、結論の否定「nは偶数」を仮定に、仮定の否定「n²は偶数」を結論にしたもの。だから示すべきは「nが偶数ならばn²は偶数」——n ＝ 2m とおけば n² ＝ 2(2m²) ですぐ示せるよ。
Q5
ふつう
背理法で矛盾が導かれたとき、結論できることは？
かいせつ矛盾が出たのは、最初においた仮定（証明したいことの否定）が悪かったせい。だからその仮定は誤りで、もとの主張が成り立つと結論できるんだ。
Q6
ふつう
√2の無理数性の証明で使った補題（前もって示した事実）は？
かいせつ2q² ＝ p² から「p²が偶数」まではすぐ出るけど、そこから「pも偶数」へ進むときに、対偶で証明しておいた補題「p²が偶数ならばpは偶数」を使ったんだ。
Q7
チャレンジ
「3√2 は無理数」を背理法で示すとき、カギになるのは？
かいせつ3√2 が有理数だと仮定すると、それを3でわった √2 も有理数になってしまい、「√2は無理数」という証明ずみの事実と矛盾する。だから 3√2 は無理数だよ。
Q8
チャレンジ
証明の終わりに書く記号「∎」の意味は？
かいせつ∎ は「証明おわり」の印。仮定から結論までの筋道がここで完結した、という合図として証明の最後に書くよ。
もっと れんしゅう
ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。
クリア！ よく できました！