背理法 — √2は 無理数である

「もし違うとしたら」から始める

背理法（はいりほう）は、こんな筋書きの証明だ。

1. 証明したいことが「成り立たない」と仮定する
2. その仮定から、論理と計算で矛盾（ありえない結論）を導く
3. 矛盾が出たのは仮定が悪かったせい。よって、もとの主張は成り立つ

犯人でないことを示すのに「私が犯人だとしたら、その時刻に2つの場所にいたことになる。ありえない」と論じるアリバイ証明——あれが背理法だよ。

約束の証明 — √2は無理数

N10章で予告した証明を、いま果たそう。

主張：√2 は無理数である（分数では表せない）。

証明：√2 が有理数だと仮定する。すると√2はこれ以上約分できない分数で書けるはずだ（どんな分数も約分しきれる——N5章）。

\[\sqrt{2} = \frac{p}{q} \quad （p、qは整数で、これ以上約分できない）\]

両辺を2乗して分母をはらうと——

\[2q^2 = p^2\]

左辺は偶数だから、p²は偶数。すると前ステップの結果（n²が偶数ならnは偶数）より、pも偶数だ。そこで p ＝ 2k とおいて代入すると——

\[2q^2 = 4k^2 \quad \rightarrow \quad q^2 = 2k^2\]

今度はq²が偶数、よってqも偶数。

……待ってほしい。pもqも偶数なら、p/qは2で約分できる。「これ以上約分できない」という仮定と真っ向から矛盾する！

矛盾が出た。だから最初の仮定「√2は有理数」が誤りで、√2は無理数である。∎

この証明の味わい

たった数行で「分数では絶対に書けない」——無限にある分数のすべてを一度に排除してみせた。しかも道具は、約分（N5章）、偶数の証明（このたんげん）、そして論理（S1章）だけ。いままで学んだことが全部つながって、数学史に残る名証明が読めたんだ。

紀元前のギリシャでこの事実を発見した学派は、あまりの衝撃に秘密にしたと伝えられる。きみはいま、その秘密を自分の頭で確かめたことになる。

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