集合と 要素

集合 — はっきりした集まり

入っているかどうかが、だれが見てもはっきり決まる集まりを集合（しゅうごう）といい、中身のひとつひとつを要素（ようそ）というよ。

• 「12の約数全体」……集合（1, 2, 3, 4, 6, 12が入る。5は入らない。明快）
• 「大きい数の集まり」……集合ではない（「大きい」があいまい）

このルール、S1章の「命題」とそっくりだね。それもそのはず、「xがこの集まりに入っている」が条件（真偽の決まる文）になるものだけが集合なんだ。論理と集合は表裏一体だよ。

記号と書きかた

a が集合 A の要素であることを

\[a \in A\]

と書く（「aはAに属する」と読む）。属さないときは a ∉ A。

集合の書きかたは2通りある。12の約数全体の集合 A なら——

• 要素を並べる：A ＝ {1, 2, 3, 4, 6, 12}
• 条件で書く：A ＝ {x｜xは12の約数}（「xは12の約数、という条件を満たすx全体」と読む）

要素が有限個の集合（有限集合）はどちらでも書けるけど、偶数全体のような無限集合は列挙しきれないから、条件の書きかたが本領を発揮する。

例1 ：A ＝ {x｜xは10以下の素数} を列挙で書くと A ＝ {2, 3, 5, 7}。そして 5 ∈ A、9 ∉ A。

例2 ：要素の順番と重複は気にしない。{1, 2, 3} と {3, 1, 2} は同じ集合だ。集合は「何が入っているか」だけがすべて。

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