部分集合と 空集合

集合の中の集合

A ＝ {2, 4} と B ＝ {1, 2, 3, 4} を見ると、Aの要素はどれもBの要素になっている。このとき「AはBの部分集合（ぶぶんしゅうごう）である」といい、

\[A \subset B\]

と書くよ。「4の倍数全体 ⊂ 偶数全体」——S1章で「4の倍数ならば偶数」と言ったのと同じ内容だ。「PならばQ」は「Pの集合 ⊂ Qの集合」。論理の矢印が、集合では包含の記号になる。

例1 ：{正三角形全体} ⊂ {二等辺三角形全体} ⊂ {三角形全体}。G1章のなかま分けの入れ子が、記号1つで書けた。

注意：∈ と ⊂ は別物だ。2 ∈ {1, 2, 3}（要素として属する）、{2} ⊂ {1, 2, 3}（集合として含まれる）。「中身」か「集まりごと」かの違いだよ。

空集合 — 何もない集まり

要素をひとつも持たない集合を空集合（くうしゅうごう）といい、∅ と書く。

「10より大きい1けたの整数全体」——そんな数はないから、これは空集合だ。「何もない」ことにも名前を与える。0の発明（N1章）と同じ精神だね。

そして少し不思議な約束：空集合はあらゆる集合の部分集合とする。「∅の要素はすべてAの要素」——∅には要素がないから、この主張は破られようがない（反例になる要素が存在しない！S1章の「ならば」の考えかただ）。

集合が「等しい」とは

A ⊂ B と B ⊂ A が両方成り立つとき、AとBは等しい（A ＝ B）。おたがいがおたがいを含むなら、中身は完全に一致しているはずだからだ。「必要十分条件」の集合版だよ。

れんしゅう

もっと れんしゅう

ボタンを おすと、あたらしい もんだいが でて くるよ。なんかいでも れんしゅう できるよ。

あたらしい もんだいを つくる