標本平均と信頼区間

一部で全体を知る、その理屈

湖の魚の平均体長を知りたい。全部は獲れない——100匹だけ獲って測る。全体（母集団）の平均 μ を、標本の平均 x̄ で推し量るわけだが……x̄ は偶然に左右される。獲り直せば違う値が出る。どれくらい信じていいのか？

答えは前章にある。中心極限定理（P3）より、標本平均 x̄ は——

• 中心：母平均 μ（ねらいは正しい）
• ばらつき：σ/√n（標本を増やすと √n で縮む）——標準誤差という
• 形：正規分布（nが大きければ）

x̄ は「μを中心に、標準誤差の幅で震える矢」なのだ。

95%信頼区間 — 幅つきの答え

正規分布の95%は μ ± 2σ の中（68-95ルール——P3）。だから x̄ は95%の確率で μ ± 2 × (σ/√n) に落ちる。これを裏返すと——

\[\bar{x} \pm 2 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \qquad が \mu を含む確率 \approx 95\%\]

95%信頼区間という。「点」でなく「幅」で答え、その幅の信頼度まで宣言する——統計の誠実さの形式だ。

例1 ：魚100匹の標本平均 30cm、母標準偏差 σ ＝ 5cm とする。標準誤差 ＝ 5/√100 ＝ 0.5。95%信頼区間は——

\[30 \pm 1 \quad すなわち \quad 29 \text{cm} 〜 31 \text{cm}\]

例2 ：精度を2倍にしたい（幅を半分にしたい）なら、標本は何倍必要？ 標準誤差は σ/√n——4倍の400匹だ。√n の法則（P3）は、調査のコスト計算そのものになる。

例3（支持率） ：1000人調査で支持率50%なら、標準誤差 ＝ √(0.5 × 0.5/1000) ≒ 1.6%。95%信頼区間は 50 ± 3.2%。ニュースの「誤差±3%」の出どころが、これだ。

「95%」の正しい読み方

微妙だが大事な点。区間を作ったあとでは、μは入っているか入っていないかのどちらか（確率ではない）。95%の意味は——この作り方で区間を100回作れば、約95回は母平均を捕まえる——という手続きの成功率だ。「矢が的に当たる率」であって「的が動く率」ではない。

（実際には母標準偏差σも未知なので標本から推定する——nが小さいときの補正がt分布。ここでは「nが大きければσの推定値でほぼOK」とだけ知っておけば十分だ。）

よくあるまちがい

その1：標準偏差と標準誤差の混同。 σは個々のデータのばらつき、σ/√n は標本平均のばらつき。信頼区間に使うのは後者——√n を忘れると幅が10倍になったりする。

その2：「μが95%の確率でこの区間にいる」と読む。 動く（ばらつく）のは区間のほう。95%は区間の作り方の成功率——上の的当ての比喩で覚えよう。

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