距離の公理と開集合

「距離」の資格試験

2点間の距離

x − y

や √((Δx)² ＋ (Δy)²)——これらに共通する本質的な性質は何か。たった3つだ。集合Xの2点に数 d(x, y) を対応させる関数が距離であるとは：

1. 正値 ：d(x, y) ≧ 0。0になるのは x ＝ y のときだけ
2. 対称 ：d(x, y) ＝ d(y, x)（行きと帰りは同じ）
3. 三角不等式 ：d(x, z) ≦ d(x, y) ＋ d(y, z)（寄り道は損しかしない）

距離を備えた集合 (X, d) を距離空間という。ベクトル空間の公理化（L2）と同じ流儀——性質だけ抜き出し、実例を総入れ替え可能にする。

距離はひとつじゃない

例1（ユークリッド距離） ：いつもの直線距離 √((Δx)² ＋ (Δy)²)。(0, 0) と (3, 4) の距離は5。

例2（マンハッタン距離） ：碁盤の目の街をタクシーで走る距離

Δx

＋

Δy

。(0, 0) と (3, 4) の距離は 7。斜め横断はできない世界の距離——これも3公理をみたす立派な距離だ。

例3（もっと自由に） ：関数どうしの距離 d(f, g) ＝ max

f(x) − g(x)

（グラフの最大のずれ）。文字列の距離（何文字置き換えれば一致するか——検索エンジンの「もしかして」機能！）。同じ集合に複数の距離を入れることもでき、選んだ距離ごとに別の距離空間になる。

例4（公理の威力） ：三角不等式から

d(x, z) − d(y, z)

≦ d(x, y) のような一般定理が導け、それはすべての距離空間で一斉に成り立つ。一度証明すれば、ユークリッドでも関数空間でも使い放題——公理化の配当だ。

開球・開集合・収束

距離があれば、解析学の語彙が引っ越せる。

開球 B(a, r) ＝ {x

d(a, x) ＜ r}——中心aから距離r未満の点の集まり。ユークリッドなら円盤（縁なし）、マンハッタンなら45°傾いた正方形になる（距離が変わると「球」の形も変わる！）。

開集合 ：どの点のまわりにも、その集合に収まる小さな開球がとれる集合。「縁を含まない領域」の一般化だ。

収束 ：xₙ → a ⇔ d(xₙ, a) → 0。ε-N論法（A6）の

aₙ − α

を d に置き換えるだけ——証明も定理も、ほぼそのまま移植できる。関数列の収束（テイラー展開の収束！）も、この枠組みで統一的に扱えるようになる。

よくあるまちがい

その1：距離＝ユークリッドと思い込む。 マンハッタン距離の「円」（開球）は正方形。図形の直観は距離の選び方に依存する——公理に立ち返るのが安全。

その2：三角不等式の向きを逆にする。 「直行 ≦ 寄り道」だ。d(x, z) が小さい側。等号は寄り道が直線上にあるとき。

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