正弦定理

記号の約束

三角形ABCでは、角Aの向かい側の辺BCの長さを小文字の a で表す。同じく b ＝ CA、c ＝ AB。「大文字の角と小文字の辺が向かい合う」——この約束はこの先ずっと使うよ。

大きい角の向かいには、長い辺

三角形では、大きい角の向かいの辺ほど長い（G3の三角形の性質）。この「なんとなくの比例感」を、正確な等式にしたのが正弦定理だ。

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

Rは三角形ABCの外接円（3頂点を通る円——G3で外心を学んだね）の半径。辺とその向かいの角の sin の比は、どのペアで計算しても同じで、しかも外接円の直径に等しい。

なぜ成り立つ？ — 円周角の定理の再登場

まず角Aが鋭角の場合を証明しよう。外接円の中心をOとし、Bを通る直径BA′を引く（A′も円上の点）。

手順1：弧BCに対する円周角だから、角A′ ＝ 角A（円周角の定理——同じ弧の円周角は等しい！）。

手順2：BA′は直径だから、角A′CB ＝ 90°（直径の上に立つ円周角は直角）。

手順3：直角三角形A′BCで sin A′ ＝ BC/BA′ ＝ a/2R。

手順4：sin A′ ＝ sin A だから、sin A ＝ a/2R。変形して a/sin A ＝ 2R。∎

Aが鈍角のときも、円に内接する四角形の性質から角A′ ＝ 180° − A となり、sin(180° − A) ＝ sin A（前ステップの公式！）で同じ結論になる。鈍角への拡張がここで効いてくるんだ。

つかってみる

例1 ：三角形ABCで a ＝ 4、A ＝ 30°、B ＝ 90°。b は？

\[\frac{4}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 90°} \quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{1/2} = \frac{b}{1} \quad\Longrightarrow\quad b = 8\]

検算：Bが直角なら b は斜辺（いちばん長い辺）のはず。8 ＞ 4 ✓

例2 ：a ＝ 5、A ＝ 30° の三角形の外接円の半径Rは？

2R ＝ a/sin A ＝ 5 ÷ 1/2 ＝ 10。よって R ＝ 5。

例3 ：a ＝ √2、A ＝ 45°、C ＝ 60° のとき c は？

c ＝ sin C × (a/sin A) ＝ sin 60° × (√2 ÷ (1/√2)) ＝ (√3/2) × 2 ＝ √3。

よくあるまちがい

その1：辺と角のペアを取りちがえる。 a とペアになるのは向かいの角の sin A。となりの角と組ませたら等式は崩れる。

その2：a/sin A ＝ R としてしまう。 正しくは 2R（直径）。例2のように「半径を答えよ」と言われたら、最後に2でわるのを忘れずに。

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