余弦定理

三平方の定理を、直角のない世界へ

三平方の定理 a² ＝ b² ＋ c² が使えるのは A ＝ 90° のときだけ。Aが90°からずれたら a² はどうなる？ 答えがこれだ。

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]

余弦定理という。A ＝ 90° なら cos A ＝ 0 で補正項が消え、三平方の定理そのものに戻る。古い定理は新しい定理の特別な場合——数学の拡張のいつもの風景だ。

Aが鋭角（cos A ＞ 0）なら a² は b² ＋ c² より小さく、鈍角（cos A ＜ 0）なら大きくなる。「角を開けば向かいの辺が伸びる」という直観と、符号がぴったり合っている。

なぜ成り立つ？ — 座標に載せて三平方

頂点Aを原点に、辺ABをx軸上に置く。C の座標は、三角比の定義（斜辺 b、角 A）から C(b cos A, b sin A)。B は B(c, 0)。2点間の距離を三平方の定理で計算すると——

\[a^2 = (b\cos A - c)^2 + (b\sin A)^2\]

展開して——

\[a^2 = b^2\cos^2 A - 2bc\cos A + c^2 + b^2\sin^2 A\] \[= b^2(\cos^2 A + \sin^2 A) + c^2 - 2bc\cos A\]

ここで sin²A ＋ cos²A ＝ 1（相互関係！）を使えば——

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \quad ∎\]

証明の部品は、座標・三平方・相互関係。これまでの装備が全部つながった。

2つの使いかた

使いかた1（2辺と間の角 → 残りの辺）

例1 ：b ＝ 3、c ＝ 5、A ＝ 60° のとき a は？

\[a^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 60° = 9 + 25 - 30 \cdot \frac{1}{2} = 19\]

a ＞ 0 だから a ＝ √19。

検算：もし A ＝ 90° なら a² ＝ 34。鋭角だから34より小さいはず。19 ＜ 34 ✓

例2 ：b ＝ 2、c ＝ 3、A ＝ 120° のとき a は？

a² ＝ 4 ＋ 9 − 2・2・3・(−1/2) ＝ 13 ＋ 6 ＝ 19。a ＝ √19。鈍角なので補正項がプラスに転じて辺が伸びた。

使いかた2（3辺 → 角） 式を cos A について解くと——

\[\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\]

例3 ：3辺が a ＝ √7、b ＝ 2、c ＝ 3 の三角形の角Aは？

\[\cos A = \frac{4 + 9 - 7}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\]

cos A ＝ 1/2 となる角は A ＝ 60°。3辺さえわかれば、分度器なしで角が求まる！

よくあるまちがい

その1：cos に使う角のとりちがえ。 a² を求める式に入るのは、a の向かいの角 A の cos。b² ＋ c² と組むのは「その2辺にはさまれた角」と覚えよう。

その2：鈍角のときの符号ミス。 cos 120° ＝ −1/2 を掛けると −2bc cos A はプラスになる。マイナス×マイナスの処理（N8）をていねいに。

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