sin・cos・tan の定義

木に登らずに高さを測る

木から10m離れて、てっぺんを見上げたら45°だった——これだけで木の高さがわかる。45°の直角二等辺三角形なら、たてとよこは同じ長さ。だから高さは10mだ。

角度がわかれば長さがわかる。この魔法の正体を、これから明らかにしよう。

角が決まれば、比が決まる

直角三角形で、直角でない角のひとつをθ（シータ）とする。θから見て——

• 斜辺：直角の向かいの、いちばん長い辺
• 対辺：θの向かい側の辺
• 隣辺：θのとなりの辺（斜辺でないほう）

ここで大事なのは、角θが同じ直角三角形は、大きさがちがってもすべて相似だということ（2つの角が等しいから——G3章の相似条件）。相似なら辺の比は同じ。つまり——

辺の比は、三角形の大きさによらず、角θだけで決まる。

この「θだけで決まる比」に名前をつけたのが三角比だ。

\[\sin\theta = \frac{対辺}{斜辺} \qquad \cos\theta = \frac{隣辺}{斜辺} \qquad \tan\theta = \frac{対辺}{隣辺}\]

サイン・コサイン・タンジェントと読む。比だから単位はない。「sin θ ＝ 0.6m」のように書いたら、それはまちがいだよ。

例1 ：3辺が 3・4・5 の直角三角形（三平方の定理で 3² ＋ 4² ＝ 5² ✓）。対辺3、隣辺4とすると——

\[\sin\theta = \frac{3}{5}, \quad \cos\theta = \frac{4}{5}, \quad \tan\theta = \frac{3}{4}\]

辺をすべて2倍した 6・8・10 の三角形でも、sin θ ＝ 6/10 ＝ 3/5。たしかに大きさによらない！

有名角の三角比 — 30°・45°・60°

45° ：直角二等辺三角形。等しい2辺を1とすると、三平方の定理で斜辺 ＝ √(1² ＋ 1²) ＝ √2。

\[\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \tan 45° = 1\]

30°と60° ：1辺2の正三角形をまっぷたつに切ると、斜辺2・底辺1の直角三角形ができる。残る辺は √(2² − 1²) ＝ √3。

θ	30°	45°	60°
sin θ	1/2	1/√2	√3/2
cos θ	√3/2	1/√2	1/2
tan θ	1/√3	1	√3

丸暗記しなくていい。直角二等辺三角形と正三角形の半分——この2つの図を描ければ、いつでも自分で導ける。

長さを求める

定義の式を変形すると、対辺 ＝ 斜辺 × sin θ、隣辺 ＝ 斜辺 × cos θ。角と1辺から残りの辺が計算できる。

例2 ：斜辺10、θ ＝ 30° の直角三角形の対辺は？

対辺 ＝ 10 × sin 30° ＝ 10 × 1/2 ＝ 5。

検算：対辺5が斜辺10より短い ✓（斜辺はいちばん長い辺だから、sin θ・cos θ は必ず1より小さい）。

例3 ：木から12m離れた地点で見上げる角が30°。木の高さは？

高さ ＝ 12 × tan 30° ＝ 12/√3 ＝ 12√3/3 ＝ 4√3 ≒ 6.9m（分母の有理化はN10でやったね）。

よくあるまちがい

その1：sin と cos の取りちがえ。 どちらも「なんとか÷斜辺」なので混ざりやすい。sin は向かい側（対辺）、cos はとなり（隣辺）——θの位置から必ず確認しよう。

その2：θの位置を変えたのに辺の役割を変えない。 3・4・5の三角形でも、もうひとつの角から見れば対辺と隣辺が入れかわり、sin ＝ 4/5 になる。三角比は「どの角から見るか」とセットだ。

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