三角比の相互関係

3つの比は、つながっている

sin・cos・tan は3つの別々の量に見えるけれど、じつは強くつながっている。斜辺 r、対辺 y、隣辺 x とおくと、sin θ ＝ y/r、cos θ ＝ x/r。ここで——

\[\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y/r}{x/r} = \frac{y}{x} = \tan\theta\]

tan は sin ÷ cos。tan を別に覚える必要は、本当はないんだ。

sin²θ ＋ cos²θ ＝ 1 — 三平方の定理の変装

もうひとつ、最重要の関係を導こう。（sin θ）² は sin²θ と書く。

\[\sin^2\theta + \cos^2\theta = \frac{y^2}{r^2} + \frac{x^2}{r^2} = \frac{x^2 + y^2}{r^2}\]

ここで x² ＋ y² は——三平方の定理そのもの！ x² ＋ y² ＝ r² だから——

\[\sin^2\theta + \cos^2\theta = \frac{r^2}{r^2} = 1\]

どんな角θでも、sin²θ ＋ cos²θ ＝ 1。ピタゴラスの定理が「比」の言葉に翻訳された姿だ。

検算にも使える：sin 30° ＝ 1/2、cos 30° ＝ √3/2 で確認すると、1/4 ＋ 3/4 ＝ 1 ✓

ひとつから残りを求める

例1 ：θは鋭角で、sin θ ＝ 3/5。cos θ と tan θ は？

手順1：sin²θ ＋ cos²θ ＝ 1 より cos²θ ＝ 1 − 9/25 ＝ 16/25。

手順2：θが鋭角なら cos θ ＞ 0 だから、cos θ ＝ 4/5。

手順3：tan θ ＝ sin θ ÷ cos θ ＝ (3/5) ÷ (4/5) ＝ 3/4。

検算：これは3・4・5の直角三角形の比そのもの ✓

例2 ：θは鋭角で、cos θ ＝ 5/13。sin θ は？

sin²θ ＝ 1 − 25/169 ＝ 144/169。鋭角だから sin θ ＝ 12/13。（5・12・13もピタゴラス数だったね。）

例3 ：θは鋭角で、tan θ ＝ 2。sin θ を求めよう。

tan θ ＝ 2 ＝ 2/1 だから、対辺2・隣辺1の直角三角形を描けばいい。斜辺 ＝ √(2² ＋ 1²) ＝ √5。よって sin θ ＝ 2/√5 ＝ 2√5/5。関係式に頼らず、三角形を描いて読み取るのも立派な解法だ。

よくあるまちがい

その1：sin²θ の読みまちがい。 sin²θ は（sin θ）²、つまり「sin θ を2乗」。sin（θ²）ではないよ。

その2：符号の見落とし。 cos²θ ＝ 16/25 から cos θ ＝ ±4/5 の2つが出る。θが鋭角という条件があってはじめて ＋ に決まる。次のステップで鈍角を学ぶと、この±が本当に効いてくる。

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